2019年高中数学第4章导数及其应用4.1导数概念讲义（含解析）湘教版

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1、4．1导数概念[读教材·填要点]1．物体在任意时刻的瞬时速度若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝在d趋于0时的极限．2．函数y＝f(x)的曲线上任一点处的切线斜率函数y＝f(x)的曲线上任一点P(u，f(u))处的切线的斜率k(u)，就是过P(u，f(u))，Q(u＋d，f(u＋d))两点割线PQ的斜率k(u，d)＝在d趋于0时的极限．3．导数的概念(1)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数：设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果比值在d

2、趋于0时(d≠0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0)，简述为：→f′(x0)(d→0)．(2)导函数：当x0为f(x)的定义区间中的任意一点，即为x，而f′(x)也是x的函数，叫作f(x)的导函数或一阶导数，若f′(x)在x处又可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x)，类似地，可以定义三阶导数f(x)等等．[小问题·大思维]1．若函数f(x)在[x1，x2]内差商为0，能否说明函数f(x)没有变化？提示：不能说明．理由：函数的差商只能粗略地描述

3、函数的变化趋势，步长d取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的差商为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f(x)＝x2在[－2,2]上的差商为0，但f(x)的图象在[－2,2]上先减后增．2.函数y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)，f′(x2)和f′(x3)的大小吗？提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA>kB，在C处的切线斜率小于零，所以f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)．3．f′(x0)与f′(x)的区别是什么？提示：f

4、′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，d无关；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与d无关．求函数在某一点处的导数求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[自主解答]　法一：f(3＋d)－f(3)＝2(3＋d)2＋4(3＋d)－(2×32＋4×3)＝12d＋2d2＋4d＝2d2＋16d，∴＝＝2d＋16.∴d→0时，f′(3)＝16.法二：＝＝4x＋2d

5、＋4→4x＋4(d→0)，即f′(x)＝4x＋4，∴f′(3)＝4×3＋4＝16.在本例中，若函数在x＝x0处的导数是8，求x0的值．解：根据导数的定义，＝＝＝4x＋2d＋4→4x＋4(d→0)，∴f′(x)＝4x＋4.令f′(x0)＝4x0＋4＝8，解得x0＝1.根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的差分f(x0＋d)－f(x0)；(2)求差商；(3)取极限，d→0得导数f′(x0)．1．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．解：f(1＋d)－f(1)＝(1＋d)－－＝d＋，＝

6、＝1＋，∴d→0时，f′(1)＝1＋1＝2.求瞬时速度一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，且y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．[自主解答]　根据导数的定义，＝＝3，∴f′(2)＝3.f′(2)的意义是：水流在2s时的瞬时流量为3m3/s，即如果保持这一速度，每经过1s，水管中流过的水量为3m3.求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)；(2)求时间改变量d，位移改变量Δs＝s(t0＋d)－s(t0)；(3)求平均

7、速度；(4)求瞬时速度，v＝li.2．一辆汽车按规律s＝2t2＋3作直线运动，求这辆车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m.)．解：设这辆车在t＝2附近的时间步长为d，则位移的差分[2(2＋d)2＋3]－(2×22＋3)＝8d＋2d2，差商＝8＋2d→f′(2)＝8(d→0)．所以这辆车在t＝2时的瞬时速度为8m/s.确定或应用曲线的切线方程抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线方程．[自主解答]　设P点坐标为(x0，y0)，＝＝2x＋d→y′＝2x(d→0)，∴

8、切线的斜率为k＝2x0.又由切线与直线4x－y＋2＝0平行，∴2x0＝4，∴x0＝2.∵P(2，y0)在抛物线y＝x2上，∴y0＝4.∴点P的坐标为(2,4)．∴切线方程为y－4＝4(x－2)．即4x－y－4＝0.若将本例中的“平行”改为“垂直”，其它条件不变，如何求解？解：设P点坐标为(x0，y0)，＝＝2x＋d→2x(d→0)，∴y′＝2x，故切线斜率为k＝2x0.又∵切线与直线4