2020版高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用讲义理（含解析）

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1、第3讲　平面向量的数量积及应用[考纲解读]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点)2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将考查向量数量积的运算、模的最值、夹角的范围．题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.1．两个向量的夹角2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的性质设a，b都

2、是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则(1)e·a＝a·e＝

3、a

4、cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝

5、a

6、

7、b

8、；当a与b反向时，a·b＝－

9、a

10、

11、b

12、.特别地，a·a＝

13、a

14、2或

15、a

16、＝.(4)cosθ＝.(5)

17、a·b

18、≤

19、a

20、

21、b

22、.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到：(1

23、)若a＝(x，y)，则

24、a

25、2＝x2＋y2或

26、a

27、＝；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离

28、AB

29、＝

30、

31、＝；(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝.1．概念辨析(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　　)(2)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)(4

32、)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)(5)若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c.(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×2．小题热身(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足

33、a

34、＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A．4B．3C．2D．0答案　B解析　因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2

35、a

36、2－(－1)＝2＋1＝3.所以选B.(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.答案　2解析　∵a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，∴a·b＝0，即－2×3

37、＋3m＝0，解得m＝2.(3)设向量a，b满足：

38、a

39、＝1，

40、b

41、＝2，a⊥(a－b)，则a与b的夹角是________．答案　60°解析　设a与b的夹角为θ，因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，故

42、a

43、2－

44、a

45、

46、b

47、cosθ＝0，解得cosθ＝，故a与b的夹角为60°.(4)已知

48、a

49、＝5，

50、b

51、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．答案　－2解析　因为a·b＝

52、a

53、

54、b

55、cosθ＝5×4×cos120°＝－10，所以b在a方向上的投影为

56、b

57、cosθ＝＝＝－2.题型　平面向量数量积的运算1．已知两个单位

58、向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的投影为(　　)A．－1B．1C．－D.答案　D解析　由两个单位向量a和b的夹角为60°，可得a·b＝1×1×＝，(a－b)·a＝a2－a·b＝1－＝，向量a－b在向量a方向上的投影为＝＝，故选D.2．(2018·天津高考)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　)A．－15B．－9C．－6D．0答案　C解析　连接MN，因为＝2，所以＝3，同理＝3，＝－＝3－3＝3，·＝3·＝3(－)·＝3·－3()2＝3×2×1×cos120°－3×12＝－6.3．已知

59、菱形ABCD的两条对角线BD，AC的长度分别为6,10，点E，F分别是线段BC，CD的中点，则·＝________.答案　12解析　依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，故A(－5,0)，C(5,0)，E，B(0,3)，F，则＝，＝，则·＝12.计算向量数量积的三种方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝

60、a

61、

62、b

63、cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．如举例说明2.(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算

64、形式进行求解．如举例说明3.