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《2019高考数学 平面向量第3讲平面向量的数量积及应用分层演练文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲平面向量的数量积及应用一、选择题1．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )A．2 B.C．0D．－解析：选B.因为a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，又a·b＝××cos，所以3＋m＝××cos，所以m＝.2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则
2、a－3b
3、＝( )A．3B．2C．D.解析：选D.(a－3b)2＝
4、a
5、2－6a·b＋9
6、b
7、2＝1－6cos60°＋9＝7，所以
8、a－3b
9、＝，故选D.3．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影
10、为( )A．－B．－C．D.解析：选A.依题意得e1·e2＝1×1×cos＝－，
11、a
12、＝＝＝，a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此b在a方向上的投影为＝＝－，故选A.4．(2018·郑州质量预测)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上．若·＝3，则·的值为( )A．0B.C．－4D．4解析：选C.＝2⇒
13、
14、＝
15、
16、＝.设与的夹角为α，·＝3⇒
17、
18、cosα＝1⇒
19、
20、＝1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B(0，3)，F(，1)，E.因此＝(，－2)，·＝×－2×3＝2－6＝－4，故
21、选C.5．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝ ( )A．B.C．2D．3解析：选A.因为＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，又·＝－，
22、
23、＝
24、
25、＝2，〈，〉＝60°，·＝
26、
27、·
28、
29、cos60°＝2，所以[(1－λ)－]·(λ－)＝－，即λ
30、
31、2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)
32、
33、2＝，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝，解得λ＝.6.如图，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·等于( )A．13B．7C．5D．3解析：选C.连接AP，BP，
34、则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－
35、
36、2＝－·＋·－
37、
38、2＝·－
39、
40、2＝1×6－1＝5.二、填空题7．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且
41、a
42、＝，则λ＝________．解析：由题意可得e1·e2＝，
43、a
44、2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－.答案：－8．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为________．解析：因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，所以由(m＋n)⊥(m－n)得(m＋n)·(m－
45、n)＝0，即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，则m＝(－2，1)，n＝(－1，2)，所以cos〈m，n〉＝＝.答案：9．(2018·石家庄质量检测(一))已知与的夹角为90°，
46、
47、＝2，
48、
49、＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以＝(0，2)，＝(1，0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ
50、)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.答案：10．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．解析：由平面向量的数量积的几何意义知，·等于
51、
52、与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝·(＋)＝2＋2＋·＝9.答案：9三、解答题11．已知
53、a
54、＝4，
55、b
56、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求
57、a＋b
58、；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4
59、a
60、2－4a·b－3
61、b
62、2＝61.又
63、a
64、＝4，
65、
66、b
67、＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，所以θ＝π.(2)
68、a＋b
69、2＝(a＋b)2＝
70、a
71、2＋2a·b＋
72、b
73、2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以
74、a＋b
75、＝.(3)因为与的夹角θ＝π，所以∠ABC＝π－＝.又
76、
77、＝
78、a
79、＝4，
80、
81、＝
82、b
83、＝3，所以S△ABC＝
84、
85、
86、
87、·sin∠ABC＝×4×3×＝3.12．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长．(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．解：
