2018_2019学年高中数学课时跟踪检测（二）基本不等式（含解析）新人教a版

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1、课时跟踪检测（二）基本不等式1．下列不等式中，正确的个数是(　　)①若a，b∈R，则≥；②若x∈R，则x2＋2＋≥2；③若x∈R，则x2＋1＋≥2；④若a，b为正实数，则≥.A．0　　　　　　　　　B．1C．2D．3解析：选C　显然①不正确；③正确；对于②，虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋>2成立，故②正确；④不正确，如a＝1，b＝4.2．设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)A.＋有最大值4B.有最小值C.＋有最大值D．a2＋b2有最小值解析：选C　由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴≤，∴ab≤，＋＝

2、＝≥4，因此＋的最小值为4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值，故选C.3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)A．3B．4C.D.解析：选B　由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，故选B.4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站

3、的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处解析：选A　由已知可得y1＝，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)，所以费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8.当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．5．若x≠0，则f(x)＝2－3x2－的最大值是________，取得最大值时x的值是________．解析：f(x)＝2－3≤2－3×4＝－10，当且仅当x2＝即x＝±时取等号．答案：－10　±6．若a＞0

4、，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.解析：两个正数，和定，积有最大值，即ab≤＝1，当且仅当a＝b时取等号，故①正确；(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤4，当且仅当a＝b时取等号，得＋≤2，故②错误；由于≥＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正确；a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，∵ab≤1，∴－ab≥－1，又a2＋b2≥2，∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④错误；＋＝·＝1＋＋≥1＋1＝2

5、，当且仅当a＝b时取等号，故⑤成立．答案：①③⑤7．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则正数p的取值范围为________．解析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.又x∈，∴t∈(0,1)．不等式＋≥16可化为p≥(1－t)．而y＝(1－t)＝17－≤17－2＝9，当＝16t，即t＝时取等号，因此若原不等式恒成立，只需p≥9.答案：[9，＋∞)8．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.证明：(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴＋＋＝＋＋＝2＝2＝2＋4≥4＋4＝8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，∴＋＋≥8.(2)∵

6、＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8.∴≥9.9．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．解：(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时等号成立．由解得∴＋的最小值为.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABC

7、D，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽分别为4m和10m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？解：(1)设休闲区的宽为am，则其长为axm，由a2x＝4000，得a＝.则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·＋160＝80＋4160(x>1)．(2)由(1)知，S≥80×

8、2＋4160＝1600＋4160＝5760.当且仅当2＝即x＝2.5时取等号，此时a＝40，ax＝100.所