北京市2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学真题

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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈R

2、3x+2>0},B={x∈R

3、(x+1)(x-3)>0},则A∩B=(　　).A.(-∞,-1)B.C.D.(3,+∞)2.设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　).A.B.C.D.3.设a,b∈R,“a

4、=0”是“复数a+bi是纯虚数”的(　　).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为(　　).第17页共17页A.2B.4C.8D.165.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则(　　)A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·ABC.AD·AB=CD2D.CE·EB=CD26.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(　　).A.24B.18C.12D.67.

5、某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(　　).A.28+6B.30+6C.56+12D.60+128.某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m值为(　　).A.5B.7C.9D.119.直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为　　　　　. 10.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=,S2=a3,则a2=　　　　,Sn=　　　　. 11.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-,则b=　　　　　. 第17页共17页12.在直角坐标系xOy中,

6、直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为　　　　　. 13.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为　　　　　,·的最大值为　　　　　. 14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件:①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;②∃x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0.则m的取值范围是　　　　　. 15.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调

7、递增区间.第17页共17页16.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6.D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.图1图2(1)求证:A1C⊥平面BCDE;(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.第17页共17页17.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃

8、圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾.数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=600,当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.(求:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+

9、(xn-)2],其中为数据x1,x2,…,xn的平均数)第17页共17页18.(2012北京,理18)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.19.(2012北京,理19)已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B

10、(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.第17页共17页20.设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记S(m,