2011年普通高等学校招生全国统一考试《理科数学》（全国ⅱ卷）真题

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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学一、选择题（1）复数，为的共轭复数，则()A.-2iB.-iC.iD.2i（2）函数的反函数为()A.B.C.D.（3）下面四个条件中，使得成立的充分不必要条件是()A.B.C.D.（4）设为等差数列的前项和，若，公差，，则()A.8B.7C.6D.5（5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得到的图像与原图像重合，则的最小值等于()A.B.3C.6D.9（6）已知直二面角，点，C为垂足，点，D为垂足。若，，则D到平面ABC的距离为()A.B.C.D

2、.（7）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有()A.4种B.10种C.18种D.20种（8）曲线，在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为()A.B.C.D.第11页共11页（1）设是周期为2的奇函数，当时，，则()A.B.C.D.（2）已知抛物线的焦点为F，直线与C交与A，B两点，则()A.B.C.D.（3）已知平面截球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面的半径为4，圆M面积为，则圆N的面积为()A.B.C.D.（4）设向量满足，则的最

3、大值为()A.2B.C.D.1一、填空题（13）的二项展开式中，x的系数与的系数之差为__________。（14）已知，,则=__________。（15）已知F1、F2分别为双曲线的左右焦点，点，点M的坐标为(2,0)，为的平分线，则_________。（16）已知点E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上，且，则面AEF与ABC所成的二面角的正切值等于__________。第11页共11页三、解答题（17）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，求C。（18）根据以往统计资料，某地车主购买

4、甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率。（II）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。第11页共11页（19）如图，四棱锥中，，侧面为等边，，.ADCBS（I）证明：；（II）求与平面所成角的大小。（20）设数列满足且.（I）求的通项公式；（II）设，记，证明：.第11页共11页（21）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两

5、点，点P满足 .（I）证明：点P在C上；（II）设点P关于点O的对称点为Q，证明四点在同一圆上。（22）设函数。（I）证明：当时，；（II）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p。证明：。第11页共11页2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学答案一、选择题123456789101112BBADCCBAADDA二、填空题13、0．14、15、616、三、解答题（17）（10分）由及正弦定理可得（3分）又由于,所

6、以……7分……10分（18）（12分）解：记A“有一位车主购买甲种保险”，B“车主买乙种保险但不购买甲种保险”，C“至少购买一种保险”，D“两种保险都不购买”第11页共11页（I）……6分（II)所以……10分因为所以……12分（19）（12分）解法一：HGFADCBS（I）AB中点E，连结SE，则.又，故,所以是直角……3分由,所以SD与两条相交直线AB、SE都垂直所以……6分（II）由知，平面作,垂足为F，则，.作，G为垂足，则.连结SG则.又，故……9分作,H为垂足，则又，F到平面SBC的距离为.由于所以

7、，E到平面SBC的距离d为。设AB与平面SBC所成的角为，则……12分解法二：（I）以C为坐标原点，射线CD为x正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz。设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0).第11页共11页又设，则.易得由得,故.由得.又得即，所以.……3分所以.则 .所以，又，所以。……6分（I）设平面的法向量为，则故……9分取得，又 ，得AB与平面SBC所成的角大小为……12分（20）（12分）解：第11页共11页（I）由题设，即是公差为1的等差数列。又故得.……5分（II）由（

8、I）中结论……8分……12分（21）（12分）解：（I），l的方程为，代入并化简得……2分设，则，得得所以点P的坐标为，验证得P在椭圆上。……6分第11页共11页（I）由，知，的垂直平分线的方程为设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为联立，得，……9分……12分（22）解：（I）.……2分当时，，所以当，……5分（II）.又，第11页共11页所以……9分由（I）知：当，，所以.