2014年高考数学(理)真题分类汇编：d单元数列-(7700)

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1、...D单元数列D1数列的概念与简单表示法1．、、[2014江·西卷]已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝an，求数列{cn}的通项公式；bnn－1，求数列{an}的前n项和Sn. (2)若bn＝3＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N17．解：(1)因为anbn*)，所以anan＋1－＝2，即cn＋1bnbn＋1－cn＝2，所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1.n－1，知an－1，于是数列{a

2、0＋3×31＋5×32 (2)由bn＝3n＝(2n－1)3n}的前n项和Sn＝1×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋⋯＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得 ＋⋯＋(2n－1)×3－2Sn＝1＋2×(31＋32＋⋯＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.2[2014新·课标全国卷Ⅰ]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．＋2－an＝λ. (1)证明：an(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．＋1＝λS

3、n－1，an＋2＝λSn＋1－1，17．解：(1)证明：由题设，anan＋1an两式相减得an＋2－an)＝λan＋1(an＋1.因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，由(1)知，a3＝λ＋1.若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，－1＝4n－3；a2n{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为

4、等差数列．3、[2014新·课标全国卷Ⅱ]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.12(1)证明an＋是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明11＋＋⋯＋a1a213＜.an2......11＝3an＋2.217．解：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋131又a1＋＝，所以an＋2223，公比为3的等比数列，所以an＋2是首项为n－13列{an}的通项公式为an＝2.12＝(2)(1).证明：由知n－1a3nnn1－－123≥×，因为当n13≥时，12＝n3，因此数2所以1≤n－131n－1，即2×31＝an2≤n－13

5、1n－1.3......于是1＋a11＋⋯＋a211≤1＋＋⋯＋an31n－1＝3321－13n<.32所以1＋a11＋⋯＋a213<.an22*)．4，，[2014重·庆卷]设a1＝1，an＋1＝an－2an＋2＋b(n∈N(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n

6、n－1，即a*)．方法二：a2＝2，a3＝2＋1.可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想an＝n－1＋1.下面用数学归纳法证明上式．当n＝1时，结论显然成立．假设n＝k时结论成立，即ak＝k－1＋1，则＋1＝（ak－1）2＋1＋1＝（k－1）＋1＋1＝（k＋1）－1＋1，ak这就是说，当n＝k＋1时结论成立．所以an＝n－1＋1(n∈N*)．2＋1－1，则an(2)方法一：设f(x)＝（x－1）令c＝f(c)，即c＝（c－1）下面用数学归纳法证明命题2＋1－1，解得c＝14.a2n

7、，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1，所以a2< 4f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)

8、f(an)．2＋1－1，则an*)．①先证：0≤an≤1(n∈N当n＝1时，结论明显成立．假设n＝k时结论成立，即0≤ak≤1.易知f(x)在(－∞，