因子投资与Smart_Beta研究（四）：“单因子多组合”还是“多因子单组合”

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1、目录1.两种组合构建方式51.1自上而下：Top-Down组合51.2自下而上：Bottom-Up组合62.他山之石72.1理论模型72.2海外实证83.本土实证93.1单因子组合93.2多因子组合103.3组合案例113.4理论模型假设的不足124.全文总结135.风险提示13图目录图1价值类单因子组合相对净值（A股，2010.12-2019.2）10图2低波类单因子组合相对净值（A股，2010.12-2019.2）10图3因子相关系数均值与BU/TD组合IR比值（K=3，A股）11图4因子相关系数均值与BU/TD组合IR比值（K=4，A股）11图5BM+ROA组合相对净值（A

2、股，2010.12-2019.2）12图6BM+ROA+dROA组合相对净值（A股，2010.12-2019.2）12表目录表1组合构建中使用的因子（海外实证）8表2因子组合风险收益特征（海外实证，1995.2-2016.12）8表3组合构建中使用的因子（A股）9表4因子时间序列相关系数均值（A股，2010.12-2019.2）9表5单因子组合风险收益特征（A股，2010.12-2019.2）10表6因子组合风险收益特征（A股，2010.12-2019.2）10表7组合案例的风险收益特征（A股，2010.12-2019.2）12随着因子投资的深入人心，越来越多的投资者开始通过简单

3、、实用的因子或者Smart-Beta组合构建投资组合。那么在组合实际构建中，是选择自上而下（Top-Down）的“单因子多组合”，还是自下而上（Bottom-Up）的“多因子单组合”，学界与业界对此展开了诸多讨论。在近期《JournalofPortfolioManagement》关于因子投资的特别期刊中，施罗德基金的AshleyLester提出1，相比自上而下的Top-Down组合，自下而上的Bottom-Up组合具有更高的预期超额收益、预期波动率以及风险调整后收益。在本文中，我们也对A股市场进行了相关的实证分析，并得到了类似的结论。1.两种组合构建方式常见的多因子组合构建方式可

4、以分为两种：自上而下的Top-Down组合、自下而上的Bottom-Up组合。两者组合构建的方式孰优孰劣，一直是学界与业界讨论的焦点。在联合标准正态分布、等权加总、因子正交化、因子选股能力接近等简化假设下，我们可以得到Top-Down与Bottom-Up组合的因子得分期望，并通过线性多因子模型，将因子打分的期望与组合的预期风险收益特征联系在一起。1.1自上而下：Top-Down组合Top-Down的构建方式是指投资者在选择需要投资的因子后，先根据单因子的排序选择排名靠前（例如分位点在x以上）的股票构建单因子组合，再将多个单因子组合加总得到最终的多因子组合。因此，Top-Down组

5、合可以视为是一种“单因子多组合”的构建方式。假设各因子服从联合标准正态分布，单因子组合内各股票、多因子组合内各单因子组合等权加总。利用联合标准正态分布的性质，可以计算组合在各因子上的期望。首先，根据inverseMillsratio，对于大于给定z的X，其条件期望为：其中，为标准正态分布的概率密度函数，为标准正态分布的累计分布函数。对于由分位点大于x的股票构建的单因子组合，，因此可以变形为：在联合标准正态分布假设下，给定X，Y的条件期望：。组合的因子总得分等于组合在各个因子上的得分之和，代入上文中的条件期望，可得：1AshleyLester,OntheTheoryandPract

6、iceofMultifactorPortfolios,JournalofPortfolioManagement,FactorInvesting,QuantitativeSpecialIssue2019.其中是因子与其他因子截面相关系数的均值。而对于由K个单因子组合等权加总得到的Top-Down组合，其因子总分等于各单因子组合总得分的均值：其中是各因子两两之间因子截面相关系数的均值。1.1自下而上：Bottom-Up组合Bottom-Up多因子组合的构建步骤与Top-Down组合相反。投资者在选择需要投资的因子后，先根据各因子打分之和对股票进行排序，选择排名前x（x为分位点）的股票

7、。然而，将被选择的股票加总得到Bottom-Up组合。同样，如果假设在多因子打分与Bottom-Up组合构建时，各因子与股票间均采用等权加总的方式，利用联合标准正态分布的性质，可以得到Bottom-Up组合的预期因子敞口。在联合标准正态分布的假设下，等权加总的复合因子服从正态分布：根据inverseMillsratio，Bottom-Up组合的总得分期望为：通过线性多因子模型，可以将组合因子敞口与因子的预期风险收益特征联系起来。首先，组合的预期收益率等于组合的因子敞口与因子预期收