2018年秋高中数学 3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算学案新人教a版

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1、3.2.2　复数代数形式的乘除运算学习目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)3.了解共轭复数的概念．(难点)[自主预习·探新知]1．复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，

2、z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3思考2：

3、z

4、2＝z2，正确吗？[提示]不正确．例如，

5、i

6、2＝1，而i2＝－1.2．共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.3．复数代数形式的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．[基础自测]1．思考辨析(1)实数不存在共轭复数．(　　)(2)两个共轭复数的差为纯虚数．(　　)(3)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z

7、1＝z2＝0.(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2．复数(3＋2i)i等于(　　)A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3iB　[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]3．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)【导学号：31062220】A．5B．C．3D．A　[z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.]4．(2－i)÷i＝________.[解析]　(2－i)÷i＝＝＝－1－2i.[答案]　－1－2i[合作探究·攻重难]复数乘法的运算　(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

8、(　　)A．(－∞，1)　B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)(2)计算：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；②(3＋4i)(3－4i)；③(1＋i)2.(1)B　[z＝＝＋i，因为对应的点在第二象限，所以，解得a<－1，故选B.](2)①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i；②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.[规律方法]　1.两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差

9、公式、完全平方公式等2.常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.[跟踪训练]1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)【导学号：31062221】A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．[解析]　(1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i，故选C(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.[答

10、案]　(1)C　(2)5复数除法的运算　(1)如图323，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　)图323A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)计算：＋－.(1)B　[由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．](2)原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＝8＋8－16－16i＝－16i.[规律方法]　1.两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母

11、分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.2.常用公式(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.[跟踪训练]2．(1)设复数z满足＝i，则

12、z

13、＝(　　)A．1B．C．D．2(2)计算：①；②.(1)A　[由＝i得1＋z＝i(1－z)，即z＝，z＝＝＝i，

14、z

15、＝1，选A.](2)①＝＝＝1－i.②＝＝＝－1－3i.共轭复数及其应用[探究问题]1．若z＝，则z是什么数？这个性质有什么作用？提示：z＝⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．2．若z≠0且z＋＝0，则z是什么数？这个性质有什么作用？