2019版高考数学复习专题检测(九)三角恒等变换与解三角形理(普通生,含解析)

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1、专题检测(九)三角恒等变换与解三角形A组——“6+3+3”考点落实练一、选择题1.(2019届高三·益阳、湘潭调研)已知sinα=,则cos(π+2α)=(  )A.         B.-C.D.-解析:选D ∵sinα=,∴cos2α=1-2sin2α=1-=,∴cos(π+2α)=-cos2α=-,故选D.2.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C=(  )A.B.C.D.解析:选C ∵S=absinC===abcosC,∴sinC=cosC,即tanC=1.∵C∈(0,π),∴C=.故选C.3.若0<α<<β<π

2、,cosα=,sin(α+β)=-,则cosβ=(  )A.-         B.C.-D.±解析:选C cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,因为α+β∈,所以cos(α+β)<0,则cos(α+β)=-,因为α∈,所以sinα>0,所以sinα=,cosβ=×+×=-.4.若α,β∈,sinα=,cos=,则β-α=(  )A.B.C.D.解析:选B 由sinα=,及α∈,得cosα=,由cos=sinβ=,及β∈,得cosβ=,所以sin(β-α)=sinβcosα-cosβsinα=×-×=.又因为β-α∈,所以β-

3、α=.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若0,∴cosB<0,

4、sβ,则v=(  )A.60B.80C.100D.125解析:选C 如图,台风中心为B,2.5小时后到达点C,则在△ABC中,ABsinα=ACsinβ,即sinα=sinβ,又cosα=cosβ,∴sin2α+cos2α=sin2β+cos2β=1=sin2β+cos2β,∴sinβ=cosβ,∴sinβ=,cosβ=,∴sinα=,cosα=,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=0,∴α+β=,∴BC2=AB2+AC2,∴(2.5v)2=1502+2002,解得v=100,故选C.二、填空题7.(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1,

5、cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=________.解析:∵sinα+cosβ=1,①cosα+sinβ=0,②∴①2+②2得1+2(sinαcosβ+cosαsinβ)+1=1,∴sinαcosβ+cosαsinβ=-,∴sin(α+β)=-.答案:-8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=3b2+3c2-2bcsinA,则C等于________.解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以b2+c2-2bccosA=3b2+3c2-2bcsinA,即sinA-cosA=,2sin=≥2,因此b=c,A-=⇒A=,所以C==.答案

6、:9.(2018·长春质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若其面积S=b2sinA,角A的平分线AD交BC于点D,AD=,a=,则b=________.解析:由面积公式S=bcsinA=b2sinA,可得c=2b,即=2.由a=,并结合角平分线定理可得,BD=,CD=,在△ABC中,由余弦定理得cosB=,在△ABD中,cosB=,即=,化简得b2=1,解得b=1.答案:1三、解答题10.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.解:(1)在△ABD

7、中,由正弦定理得=,即=,所以sin∠ADB=.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25,所以BC=5.11.(2018·昆明调研)在△ABC中,AC=2,BC=6,∠ACB=150°.(1)求AB的长;(2)延长BC至D,使∠ADC=45°,求△ACD的面积.解:(1)由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠AC

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