专题八三角恒等变换及辅助角公式

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1、锐乐思教育ReallySimple专题八三角恒等变换及辅助角公式一、基本内容串讲1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tan()tantan1tantan对其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。2．二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin2sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.2tantan2.21tan要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，cos21cos

2、2,sin21cos2这两个形式常用。223.辅助角公式：对于一般形式asinbcos（a、b不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？asinbcosa2b2(ab2sinbcos)a2a2b2a2b2sin()cosa其中辅助角由a2b2确定，即辅助角（通常02）的终边经过点(a,b)sinba2b2------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角为辅助角。4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余

3、弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5.常见题目类型及解题技巧（最后师生共同总结）二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、sin20cos40cos20sin40的值等于（）1锐乐思教育ReallySimple2、若tan3，tan4，则tan()等于（）3考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、coscos2的值等于（）554、已知0A，且cosA3，那么sin2A等于（）25考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换5、已知tan()2,tan()1,则tan()的值等于（54446、已知sins

4、in1,coscos1,则cos()值等于（237、函数f(x)cos2(x)sin2(x)1是（C）1212（A）周期为2的奇函数（B）周期为2的偶函数（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数三、解题方法分析1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点3）2259）72【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。例1设a1cos63sin6,b2tan13,csin50,则有（acb）221tan2132cos25【点评】：本题属于“理解”

5、层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：sincos=1sin2，cos=sin2，cos2sin2cos2，2tantan2，22sin1-tan212sincos(sincos)2，1cos22cos2，1cos22sin2，cos21cos2,sin21cos2，tanα＋tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)22等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为a2b2sin(x)即asinx+bcosx=a2b2sin(x)（其中tanb）是常用转化手段。a特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±3cosx，要

6、熟练掌握其变形结论。2锐乐思教育ReallySimple2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例2．已知π＜β＜α＜3π，cos（α－β）=12，sin（α+β）=－3，求sin2α的24135值．（－5665（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点，2α=（α－β）+（α+β））例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］2s

7、in280．【点评】：本题属于“理解”层次,解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例4：已知sin（α+β）