2017年----2018年高考真题解答题专项训练：立体几何(理科)教师版

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1、2017 年 ----2018 年高考真题解答题专项训练：立体几何（理科）教师版1．（ 2017.上海卷）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和 AC 的长分别为4 和 2，侧棱的长为 5.（ 1）求三棱柱的体积；（ 2）设 M 是 BC 中点，求直线与平面所成角的大小 .【来源】 2017 年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷）试题分析：（ 1）（ 2），线面角为2．（ 2017 新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体直角三角形，∠ABD =∠ CBD ， AB=BD ．ABCD 中， △ABC 是正三角形

2、， △ACD 是（ 1）证明：平面ACD ⊥平面 ABC ；（ 2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D –AE –C 的余弦值 .【来源】 2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3 卷精编版）试题解析：（ 1）由题设可得， △又 △是直角三角形，所以△.，从而.取 AC的中点 O，连接 DO, BO, 则 DO⊥AC, DO=AO.又由于 △所以是正三角形，故为二面角.的平面角 .在△中，.又故，所以.，试卷第 1 页

3、，总 21 页所以平面 ACD⊥平面 ABC.（ 2）由题设及（ 1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.. 则由题设知，四面体 ABCE的体积为四面体 ABCD的体积的 ，从而 E 到平面 ABC的距离为 D 到平面 ABC的距离的 ，即 E 为 DB的中点，得.故.设可取是平面 DAE的法向量，则.，，即设是平面 AEC的法向量，则则.，，同理可取.所以二面角 D- AE- C的余弦值为.3．（ 2017. 浙江卷） 如图，已知四棱锥P-ABCD，△

4、 PAD是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD， PC=AD=2DC=2CB,E为 PD的中点 .（ I ）证明： CE∥平面PAB；（ II ）求直线 CE与平面 PBC所成角的正弦值试卷第 2 页，总 21 页【试题解析：PA中点为 F，连接 EF， FB．（Ⅰ）如图，设因为 E， F 分别为 PD， PA中点，所以 EF / / AD 且 EF12AD ，又因为 BC / / AD ， BC12AD ，所以 EF / / BC 且 EFBC ，即四边形 BCEF为平行四边形，所以因此 CE /

5、 / 平面 PAB．CE / / BF ，（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为 M， N．连接 PN交 EF于点 Q，连接 MQ．因为 E， F， N 分别是 PD，PA， AD的中点，所以Q为 EF中点，在平行四边形BCEF中， MQ//CE．由△ PAD为等腰直角三角形得PN⊥ AD．由 DC⊥ AD， N 是 AD的中点得 BN⊥ AD．所以 AD⊥平面 PBN，由 BC// AD得 BC⊥平面 PBN，那么平面 PBC⊥平面 PBN．过点 Q作 PB的垂线，垂足为H，连接 MH．MH是 MQ在平面 PBC上的射影，所

6、以∠设 CD=1．QMH是直线 CE与平面 PBC所成的角．在△ PCD中，由 PC=2， CD=1， PD=2 得 CE= 2 ，试卷第 3 页，总 21 页在△ PBN中，由 PN=BN=1， PB= 3 得 QH=12 ，在 Rt△ MQH中， QH= ， MQ=414，所以 sin ∠ QMH=28，所以直线 CE与平面 PBC所成角的正弦值是28．4．（ 2017. 上海卷） 如图， 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形， 平面 PAD平面 ABCD ，点 M 在线段 PB 上， PD平

7、面 MAC ，PAPD6 ， AB4 ．（ 1）求证：M 为 PB 的中点；（ 2）求二面角 BPDA 的大小；（ 3）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值．试题解析： （ 1）设 AC ， BD 的交点为 E ，连接 ME ．因为 PD平面 MAC ，平面 MAC平面 PDBME ，所以 PDME ．因为 ABCD 是正方形，所以E 为 BD 的中点，所以 M 为 PB 的中点．（ 2）取 AD 的中点 O ，连接 OP ， OE ．因为 PAPD ，所以 OPAD ．又平面 PAD平面 A

8、BCD ，且 OP平面 PAD ，所以 OP平面 ABCD ．因为 OE平面 ABCD ，所以 OPOE ．因为 ABCD 是正方形，所以OEAD ．如图，建立空间直角坐标系Oxyz ，则 P 0,0, 2 ， D 2,0,0 ，