2019高考数学复习第九章平面解析几何9.4椭圆及其性质练习理

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1、§9.4　椭圆及其性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.椭圆的定义及其标准方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握2016天津,19;2015陕西,20;2014辽宁,15选择题解答题★★★2.椭圆的几何性质掌握2017课标全国Ⅲ,10;2017浙江,2;2016课标全国Ⅲ,11;2016江苏,10;2016浙江,19填空题解答题★★★3.直线与椭圆的位置关系掌握2017天津,19;2016四川,20;2016课标全国Ⅰ,20;2015江苏,18解答题★★★分析解读　1

2、.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大.五年高考考点一　椭圆的定义及其标准方程1.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0

3、A,B两点.若

4、AF1

5、=3

6、F1B

7、,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为　　　　　. 答案　x2+y2=12.(2016天津,19,14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.解析　(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c

8、2=1,因此a2=4,所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2或x=,由题意得xB=,从而yB=.由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),=.由BF⊥HF,得·=0,所以+=0,解得yH=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(xM,yM),由方程组消去y,解得xM=.在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔

9、MA

10、≤

11、MO

12、

13、,即(xM-2)2+≤+,化简得xM≥1,即≥1,解得k≤-,或k≥.所以,直线l的斜率的取值范围为∪.3.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解析　(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2,解得离

14、心率=.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且

15、AB

16、=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是

17、AB

18、=

19、x1-x2

20、==.由

21、AB

22、=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.解法二:由

23、(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②依题意得,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且

24、AB

25、=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,所以AB的斜率kAB==.因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是

26、AB

27、=

28、x1-x2

29、==.由

30、AB

31、=,得=,

32、解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.教师用书专用(4)4.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则

33、AN

34、+

35、BN

36、=　　　　. 答案　12考点二　椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.答案　B2.(2017课标全国Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2