2019版高考数学二轮复习专题七圆锥曲线专题突破练22圆锥曲线中的最值、范围、证明问题文

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1、专题突破练22　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.经过原点的直线与椭圆C:=1(a>b>0)交于A,B两点,点P为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的离心率;(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点.若点F1在以

2、MN

3、为直径的圆内部,求k的取值范围.2.(2018湖南衡阳一模,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,直线y=1与C的两个交点间的距

4、离为.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,过F1,F2作两条平行线l1,l2与C的上半部分分别交于A,B两点,求四边形ABF2F1面积的最大值.3.已知A是椭圆E:=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当

5、AM

6、=

7、AN

8、时,求△AMN的面积;(2)当2

9、AM

10、=

11、AN

12、时,证明:0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一

13、点,且=0.证明:2

14、

15、=

16、

17、+

18、

19、.5.椭圆E:=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,

20、AM

21、=

22、AN

23、时,求△AMN的面积;(2)当2

24、AM

25、=

26、AN

27、时,求k的取值范围.6.(2018山东潍坊一模,文20)抛物线E:x2=2py(0

28、PF

29、=时,△PFC的面积为.(1)求抛物线方程;(2)若y0>,过P作圆C的两条切线分别交y轴于M

30、,N两点,求△PMN面积的最小值,并求出此时P点坐标.参考答案专题突破练22　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解(1)设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),P(x0,y0),∵点A,B,P三点均在椭圆上,∴=1,=1,∴作差得=-,∴kPA·kPB==-=-=-1+e2=-,∴e=.(2)设F1(-c,0),F2(c,0),直线l的方程为y=k(x-c),记M(x3,y3),N(x4,y4),∵e=,∴a2=4b2,c2=3b2,联立得(1+4k2)x2-8ck2x+4c2k2-4b2=0,Δ>0,

31、∴当点F1在以

32、MN

33、为直径的圆内部时,=(x3+c)(x4+c)+y3·y4<0,∴(1+k2)x3x4+(c-ck2)(x3+x4)+c2+c2k2<0,得(1+k2)+(1-k2)·+c2(1+k2)<0,解得-

34、9=0,Δ=144(m2+1)>0.y1+y2=,y1·y2=-,

35、AD

36、====.又F2到l1的距离为d=,所以=12×.令t=≥1,则,所以当t=1时,最大值为3.又(

37、AF1

38、+

39、BF2

40、)·d=(

41、AF1

42、+

43、DF1

44、)·d=

45、AD

46、·d=,所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.3.(1)解设M(x1,y1),则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△

47、AMN的面积S△AMN=.(2)证明将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=得x1=,故

48、AM

49、=

50、x1+2

51、.由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得

52、AN

53、=.由2

54、AM

55、=

56、AN

57、得,即4k3-6k2+3k-8=0.设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)单调递增.又f()=15-26<0,f(2)=6>0,因

58、此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在(,2)内.所以