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《2019年高考数学二轮复习专题突破练-空间中的垂直与空间角理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题突破练16 空间中的垂直与空间角1.(2018湖南衡阳二模,理18)如图,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,△ABC是等边三角形,AC=2AE,M是AB的中点.(1)证明:CM⊥DM;(2)若直线DM与平面ABC所成角的余弦值为,求二面角B-CD-E的正弦值.2.(2018北京卷,理16)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=,AC=AA1=2.(1)求证:AC⊥平面BEF;(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;(3)证明:直线FG与平面
2、BCD相交.3.(2018湖南衡阳八中一模,理19)在如图所示的五面体中,四边形ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ADC=,平面ADE⊥平面ABCD,EF=2DC=4AB=4,△ADE是边长为2的正三角形.(1)证明:BE⊥平面ACF;(2)求二面角A-BC-F的余弦值.4.(2018宁夏银川一中一模,理19)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=PA=2,E,F分别为PB,AD的中点.(1)证明:AC⊥EF;(2)求直线EF与平面PCD所成角的正弦值.5.(2018
3、河北唐山三模,理19)如图,▱ABCD中,BC=2AB=4,∠ABC=60°,PA⊥AD,E,F分别为BC,PE的中点,AF⊥平面PED.(1)求证:PA⊥平面ABCD;(2)求直线BF与平面AFD所成角的正弦值.6.如图,△BCD是等边三角形,AB=AD,∠BAD=90°,将△BCD沿BD折叠到△BC'D的位置,使得AD⊥C'B.(1)求证:AD⊥AC';(2)若M,N分别是BD,C'B的中点,求二面角N-AM-B的余弦值.7.(2018山东潍坊一模,理18)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=4,AB=2,AC=2,∠
4、BAC=45°,点M是棱AA1上不同于A,A1的动点.(1)证明:BC⊥B1M;(2)若平面MB1C把此棱柱分成体积相等的两部分,求此时二面角M-B1C-A的余弦值.参考答案专题突破练16 空间中的垂直与空间角1.解(1)因为△ABC是等边三角形,M是AB的中点,所以CM⊥MB.∵DB⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,∴DB⊥CM.∵DB∩MB=B,∴CM⊥平面DMB.∵DM⊂平面DMB,∴CM⊥DM.(2)解法1:以点M为坐标原点,MC所在直线为x轴,MB所在直线为y轴,过M且与直线BD平行的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系
5、M-xyz.因为DB⊥平面ABC,所以∠DMB为直线DM与平面ABC所成的角.由题意得cos∠DMB=,∴tan∠DMB==2,即BD=2MB,从而BD=AC.不妨设AC=2,又AC=2AE,则CM=,AE=1.故B(0,1,0),C(,0,0),D(0,1,2),E(0,-1,1).于是=(,-1,0),=(0,0,2),=(-,-1,1),=(-,1,2),设平面BCD与平面CDE的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),由令x1=1,得y1=,∴m=(1,,0).由令x2=1,得y2=-,z2=∴n=∴
6、cos==0.故二面角B-CD-E的正弦值为1.解法2:∵DB⊥平面ABC,∴∠DMB为直线DM与平面ABC所成的角.由题意得cos∠DMB=,∴tan∠DMB==2,即BD=2MB,从而BD=AC.不妨设AC=2,又AC=2AE,则CM=,AE=1,AB=BC=BD=2.由于EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,则EA∥BD.取BD的中点N,连接EN,则EN=AB=2.在Rt△END中,ED=,在Rt△EAC中,EC=,在Rt△CBD中,CD==2,取CD的中点P,连接EP,BP,BE,则EP⊥CD,BP⊥CD.所以∠EP
7、B为二面角B-CD-E的平面角.在Rt△EPC中,EP=,在Rt△CBD中,BP=CD=,在Rt△EAB中,EB=,∵EP2+BP2=5=EB2,∴∠EPB=90°.故二面角B-CD-E的正弦值为1.2.(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中,∵CC1⊥平面ABC,∴四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,∴AC⊥EF.∵AB=BC,∴AC⊥BE,∴AC⊥平面BEF.(2)解由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.∵CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.∵BE⊂平面ABC,∴EF⊥BE.建立如图所示
8、的空间直角坐标系E-xyz.由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).=(2,0,1),=(1,2,0).设平面BCD的法向量为n=(a,b,c),则令a=2,则b=-1,c=
