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《（通用版）2020版高考数学大二轮复习专题突破练18空间中的垂直与空间角理.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题突破练18 空间中的垂直与空间角1.(2019北京怀柔模拟,理16)已知在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=12AB=2,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(1)证明:CM⊥SN;(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小;(3)求二面角B-NC-M大小的余弦值.2.(2019河北唐山一模,理18)如图,△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF为折痕把△AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE.(1)证明:BC⊥平面P
2、BE;(2)求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.3.(2019河北武邑中学调研二,理19)如图,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.4.(2019山西太原二模,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,△PCD是正三角形,PC⊥AC,E是PA的中点.(1
3、)证明:AC⊥BE;(2)求直线BP与平面BDE所成角的正弦值.5.(2019山东实验等四校联考,理18)如图,在直角△ABC中,B为直角,AB=2BC,E,F分别为AB,AC的中点,将△AEF沿EF折起,使点A到达点D的位置,连接BD,CD,M为CD的中点.(1)证明:MF⊥面BCD;(2)若DE⊥BE,求二面角E-MF-C的余弦值.6.(2019福建漳州质检二,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PAD,AD∥BC,AB=BC=AP=12AD,∠ADP=30°,∠BAD=90°,E是PD的中点.(1
4、)证明:PD⊥PB;(2)设AD=2,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为105,求二面角M-AB-P的余弦值.7.(2019山西晋城二模,理19)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°且AD=CD,BB1⊥平面ABCD,BB1=2AB=2.(1)证明:AC⊥B1D.(2)求BC1与平面B1C1D所成角的正弦值.8.(2019山东青岛二模,理18)如图,在圆柱W中,点O1,O2分别为上、下底面的圆心,平面MNFE是轴截面,点H在上底面圆周上(异于N、F),点G为下
5、底面圆弧ME的中点,点H与点G在平面MNFE的同侧,圆柱W的底面半径为1,高为2.(1)若平面FNH⊥平面NHG,证明:NG⊥FH;(2)若直线NH与平面NFG所成线面角α的正弦值等于155,证明:平面NHG与平面MNFE所成锐二面角的平面角大于π3.参考答案专题突破练18 空间中的垂直与空间角1.(1)证明以A为原点,AB,AC,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),C(0,2,0),B(4,0,0),M(2,0,1),N(1,0,0),S(2,1,0),∴CM=(2,-2,1),SN=(-1,-
6、1,0),∵CM·SN=2×(-1)+(-2)×(-1)+1×0=0,∴CM⊥SN.(2)解CN=(1,-2,0),设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则x-2y=0,2x-2y+z=0.令y=1,则x=2,z=-2.∴a=(2,1,-2).∵
7、cos
8、=2×(-1)+1×(-1)+02×3=22,∴直线SN与平面CMN所成角为45°.(3)解由(2)知平面CMN的一个法向量a=(2,1,-2).又平面BNC的法向量b=(0,0,1),且二面角B-NC-M为锐角,∴
9、cos
10、=2×0+1×9
11、+(-2)×11×3=23.∴二面角B-NC-M大小的余弦值为23.2.(1)证明因为E,F分别为AB,AC边的中点,所以EF∥BC.因为∠ABC=90°,所以EF⊥BE,EF⊥PE.又因为BE∩PE=E,所以EF⊥平面PBE,所以BC⊥平面PBE.(2)解取BE的中点O,连接PO,由(1)知BC⊥平面PBE,BC⊂平面BCFE,所以平面PBE⊥平面BCFE.因为PB=BE=PE,所以PO⊥BE.又因为PO⊂平面PBE,平面PBE∩平面BCFE=BE,所以PO⊥平面BCFE.过O作OM∥BC交CF于点M,分别以OB,OM,
12、OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,3),C(1,4,0),F(-1,2,0).PC=(1,4,-3),PF=(-1,2,-3),设平面PCF的法向量为m=(x,y,z),则PC·m=0,PF·m=0,即x+4y-3z=0,-x+2y-3z=0,则m=(-1,1,3).易知n=(
