数值代数上机作业.docx

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1、第一章习题一：1.myGauss0.mx=myGauss0(A,b)作用是利用不选主元的Gauss消去法解方程Ax=b;函数输入:矩阵A，列向量b输出：方程组的解x，为列向量算法：先用高斯消去法求得A=LU。然后用前代法和回代法解Ly=b和Ux=y,其中A的上三角部分保存U的上三角形信息，下三角部分保存L的对角线以外的信息，注意信息的保存位置且Lii=1。2.myGauss1.mx=myGauss1(A,b)作用是利用列主元的Gauss消去法解方程Ax=b;函数输入：矩阵A，列向量b输出：方程组的解x算法：在上面myGaus

2、s0的算法上进行改进：首先在A=LU的分解的每i步选区该列第i:n行的最大元作为列主元，将列主元所在行j与i行位置兑换，并记录下j的位置于向量p(表示列主元Gauss消去法中的置换矩阵P，满足PA=LU)。行的位置交换相当于交换方程的顺序，所以b的元素位置也要进行相同的交换。3.1call.m习题一（1）和（2）的源程序,其中用循环给A赋值，得到的不选主元高斯消去法的结果x0和列主元高斯消去法的结果x1习题一结果如下：高斯消去法x0列主元高斯消去法x1实际解1111111111111111111111111111111111

3、111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111.000001110.999998111.000004110.999992111.000015110.999969111.000061110.999878111.000244110.999512111.000977110.998047111.003906110.992188111.015624110.968752111.062496110.875008111.249985110.50003111

4、1.99993911-0.99988114.99975611-6.999511116.9990211-30.9981164.9960911-126.99211256.984311-510.969111024.93711-2046.87114096.74211-8190.471116383.8811-32764.5116553111-1310551126209711-52412711104800111-209497511418585711-8355329111664512911-3.3E+07116500774511-1.3E

5、+081.00000112.35E+080.9999991-4E+081.00000215.37E+080.9999971结果分析：1）有A和b的值容易看出，方程组的实际解应该是x=(1,1,┄,1,1)。2）对比普通高斯消去法和列主元高斯消去法的结果可以看出，列主元的选取使得结果的精确度大幅增加。3）每一种方法得到的结果的前若干的分量都比较准确，随着误差的累加，后面的分量的结果与真实值会越差越大。4）列主元高斯消去法可以有效的控制舍入误差的扩散。习题二：4.pingfg0.mx=pingfg0(A,b)作用是利用chole

6、sky分解定理解方程Ax=b;函数输入:矩阵A对称正定，列向量b输出：方程组的解x，为列向量算法：根据cholesky分解定理，对称正定矩阵A可以分解为形如A=L*L’，其中L是非单位下三角阵。比较A=L*L’两边对应元素，得到aij与lij的关系，求出L。这里的程序存在开方。再根据前代法和回代法解L*L’*x=b.5.pingfg1.mx=pingfg1(A,b)作用是用改进的cholesky分解定理解方程Ax=b;函数输入：正定对称矩阵A，列向量b输出：方程组的解x算法：为了避免开方，在上面的方法上进行改进，将A分解为A

7、=L*D*L’，其中L是单位下三角阵，D是对角阵。同样通过对比A=L*D*L’两边对应元素，得到aij与dj,lij的关系。6.2call.m习题二的源程序，用循环给A赋值，用rand函数随机生成b的值，得到的平方根法的结果x0和改进的平方根法的结果x1,并与MATLAB本身函数A^(-1)*b得到的结果进行比较。第一小问：（1）随机生成b的值，得到的x的结果如下：平方根法改进的平方根法MATLAB本身函数0.4233020.4233310.423331-0.00416-0.00446-0.004460.5608350.56

8、35360.5635360.3528180.3543320.3543320.59960.6023840.6023840.5786720.5813180.5813180.5803490.5833180.583318-0.02904-0.02919-0.029190.044560.044668