2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质作业苏教版

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1、2.3.2双曲线的几何性质[基础达标]双曲线-=1的两条渐近线的方程为________.解析:由双曲线方程可知a=4,b=3,所以两条渐近线方程为y=±x.答案:y=±x已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=________,b=________.解析:双曲线-=1的渐近线为y=±2x,则=2,即b=2a,又c=,a2+b2=c2,所以a=1,b=2.答案:1 2双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程是________.解析:由题意

2、得2a+2b=2c,即a+b=c,又因为a=2,所以b=c-2,所以c2=a2+b2=4+b2=4+(c-2)2,即c2-4c+8=0,所以c=2,b=2,所求的双曲线的标准方程是-=1.答案:-=1设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为________.解析:渐近线方程可化为y=±x.∵双曲线的焦点在x轴上,∴=(±)2,解得a=±2,由题意知a>0,∴a=2.答案:2已知双曲线C经过点(1,1),它的一条渐近线方程为y=x,则双曲线C的标准方程是________.解析:设双曲线的方程为y2-3x2=λ(λ≠0),将点(1,1

3、)代入可得λ=-2,故双曲线C的标准方程是-=1.答案:-=1已知双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________.解析:由题意求出双曲线中a=3,b=4,c=5,则双曲线渐近线方程为y=±x,不妨设直线BF斜率为,可求出直线BF的方程为4x-3y-20=0①,将①式代入双曲线方程解得yB=-,则S△AFB=AF·

4、yB

5、=(c-a)·=.答案:已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程

6、为________.解析:双曲线的渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0,圆心为(3,0),半径r=2.由圆心到直线的距离为r==2,所以4a2=5b2,又双曲线的右焦点为圆C的圆心,所以c=3,即9=a2+b2,a2=5,b2=4.故所求双曲线的方程为-=1.答案:-=1如图,双曲线-=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则(1)双曲线的离心率e=________;(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比

7、值=________.解析:(1)由题意可得a=bc,∴a4-3a2c2+c4=0,∴e4-3e2+1=0,∴e2=,∴e=.(2)设sinθ=,cosθ=,====e2-=.答案:(1) (2)已知F1、F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A,B两点,若△ABF2是正三角形,试求该双曲线的离心率.解:由△ABF2是正三角形,则在Rt△AF1F2中,有∠AF2F1=30°,∴AF1=AF2,又AF2-AF1=2a,∴AF2=4a,AF1=2a,又F1F2=2c,又在Rt△AF1F2中有AF+F1F=

8、AF,即4a2+4c2=16a2,∴e=.设双曲线-=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过(a,0)、(0,b)两点,且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,求双曲线的离心率e的取值范围.解:直线l过(a,0)、(0,b)两点,得到直线方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得点(1,0)到直线l的距离为d1=,同理得到点(-1,0)到直线l的距离为d2=,由s≥c得到≥c①.将b2=c2-a2代入①式的平方,整理得4c4-25a2c2+25a4≤0,两边同除以a4后令=x,得到4x2-25x+25

9、≤0,解得≤x≤5,又e==,故≤e≤ .[能力提升]设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,AB为C的实轴长的2倍,则C的离心率为________.解析:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直,因此直线l的方程为l:x=c或x=-c,代入-=1得y2=b2=,∴y=±,故AB=,依题意=4a,∴=2,∴=e2-1=2,∴e=.答案:已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将

10、线段AB三等分,则b2=________.解析:C2的一条渐近线为y=2x,设渐

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