2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质作业苏教版

《2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质作业苏教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.3.2双曲线的几何性质[基础达标]1．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.解析：双曲线－＝1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a，又c＝，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2.答案：1　22．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程是________．解析：由题意得2a＋2b＝2c，即a＋b＝c，又因为a＝2，所以b＝c－2，所以c2＝a2＋b

2、2＝4＋b2＝4＋(c－2)2，即c2－4c＋8＝0，所以c＝2，b＝2，所求的双曲线的标准方程是－＝1.答案：－＝13．已知双曲线C经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线C的标准方程是________．解析：设双曲线的方程为y2－3x2＝λ(λ≠0)，将点(1,1)代入可得λ＝－2，故双曲线C的标准方程是－＝1.答案：－＝14．已知双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：由题意求出双曲线中a＝3，b＝

3、4，c＝5，则双曲线渐近线方程为y＝±x，不妨设直线BF斜率为，可求出直线BF的方程为4x－3y－20＝0①，将①式代入双曲线方程解得yB＝－，则S△AFB＝AF·

4、yB

5、＝(c－a)·＝.答案：5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．解析：双曲线的渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0，圆心为(3,0)，半径r＝2.由圆心到直线的距离为r＝＝2，所以4a2＝5b2，又双曲线的右焦点为圆C的圆心

6、，所以c＝3，即9＝a2＋b2，a2＝5，b2＝4.故所求双曲线的方程为－＝1.答案：－＝16．如图，双曲线－＝1(a，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.解析：(1)由题意可得a＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.(2)设sin

7、θ＝，cosθ＝，＝＝＝＝e2－＝.答案：(1)　(2)7．已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若△ABF2是正三角形，试求该双曲线的离心率．解：由△ABF2是正三角形，则在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1＝30°，∴AF1＝AF2，又AF2－AF1＝2a，∴AF2＝4a，AF1＝2a，又F1F2＝2c，又在Rt△AF1F2中有AF＋F1F＝AF，即4a2＋4c2＝16a2，∴e＝.8．设双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直

8、线l过(a,0)、(0，b)两点，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．解：直线l过(a,0)、(0，b)两点，得到直线方程为bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离为d1＝，同理得到点(－1,0)到直线l的距离为d2＝，由s≥c得到≥c①.将b2＝c2－a2代入①式的平方，整理得4c4－25a2c2＋25a4≤0，两边同除以a4后令＝x，得到4x2－25x＋25≤0，解得≤x≤5，又e＝＝，故≤e≤　.[能力

9、提升]1．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________．解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2＝，∴y＝±，故AB＝，依题意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝.答案：2．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线

10、段AB三等分，则b2＝________.解析：C2的一条渐近线为y＝2x，设渐近线与椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的交点分别为C(x1,2x1)，D(x2,2x2)，则OC2＝x＋4x＝2，即x＝，又由C(x1,2x1)在C1：＋＝1上，所以有＋＝1，①又由椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点可得a2－b2＝5，②由①②可得b2＝.答案：3．