2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质作业苏教版

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1、2.3.2双曲线的几何性质[基础达标]双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．解析：由双曲线方程可知a＝4，b＝3，所以两条渐近线方程为y＝±x.答案：y＝±x已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________．解析：双曲线－＝1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a，又c＝，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2.答案：1　2双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程是________．解析：由题意

2、得2a＋2b＝2c，即a＋b＝c，又因为a＝2，所以b＝c－2，所以c2＝a2＋b2＝4＋b2＝4＋(c－2)2，即c2－4c＋8＝0，所以c＝2，b＝2，所求的双曲线的标准方程是－＝1.答案：－＝1设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．解析：渐近线方程可化为y＝±x.∵双曲线的焦点在x轴上，∴＝(±)2，解得a＝±2，由题意知a>0，∴a＝2.答案：2已知双曲线C经过点(1，1)，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线C的标准方程是________．解析：设双曲线的方程为y2－3x2＝λ(λ≠0)，将点(1，1

3、)代入可得λ＝－2，故双曲线C的标准方程是－＝1.答案：－＝1已知双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：由题意求出双曲线中a＝3，b＝4，c＝5，则双曲线渐近线方程为y＝±x，不妨设直线BF斜率为，可求出直线BF的方程为4x－3y－20＝0①，将①式代入双曲线方程解得yB＝－，则S△AFB＝AF·

4、yB

5、＝(c－a)·＝.答案：已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程

6、为________．解析：双曲线的渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0，圆心为(3，0)，半径r＝2.由圆心到直线的距离为r＝＝2，所以4a2＝5b2，又双曲线的右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，即9＝a2＋b2，a2＝5，b2＝4.故所求双曲线的方程为－＝1.答案：－＝1如图，双曲线－＝1(a，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比

7、值＝________．解析：(1)由题意可得a＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.(2)设sinθ＝，cosθ＝，＝＝＝＝e2－＝.答案：(1)　(2)已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若△ABF2是正三角形，试求该双曲线的离心率．解：由△ABF2是正三角形，则在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1＝30°，∴AF1＝AF2，又AF2－AF1＝2a，∴AF2＝4a，AF1＝2a，又F1F2＝2c，又在Rt△AF1F2中有AF＋F1F＝

8、AF，即4a2＋4c2＝16a2，∴e＝.设双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过(a，0)、(0，b)两点，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．解：直线l过(a，0)、(0，b)两点，得到直线方程为bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1，0)到直线l的距离为d1＝，同理得到点(－1，0)到直线l的距离为d2＝，由s≥c得到≥c①.将b2＝c2－a2代入①式的平方，整理得4c4－25a2c2＋25a4≤0，两边同除以a4后令＝x，得到4x2－25x＋25

9、≤0，解得≤x≤5，又e＝＝，故≤e≤　.[能力提升]设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________．解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2＝，∴y＝±，故AB＝，依题意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝.答案：已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将

10、线段AB三等分，则b2＝________．解析：C2的一条渐近线为y＝2x，设渐