浙江2020版高考数学第六章平面向量、复数6.1平面向量的概念及线性运算讲义（含解析）

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1、§6.1　平面向量的概念及线性运算最新考纲考情考向分析1.理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念．2.掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位

2、的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3

9、.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示　不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示　λa的大小为

10、λa

11、＝

12、λ

13、

14、a

15、，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示　如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×

16、”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　√　)(2)

17、a

18、与

19、b

20、是否相等与a，b的方向无关．(　√　)(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　×　)(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　√　)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　×　)题组二　教材改编2．[P86例4]已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)答案　b－a　－a－b解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a

21、－b.3．[P92B组T4]在平行四边形ABCD中，若

22、＋

23、＝

24、－

25、，则四边形ABCD的形状为________．答案　矩形解析　如图，因为＋＝，－＝，所以

26、

27、＝

28、

29、.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．题组三　易错自纠4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.答

30、案　解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案　解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.题型一　平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；③a＝b的充要条件是

31、a

32、＝

33、b

34、且a∥b

35、；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．答案　②解析　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②正确，因为＝，所以

36、

37、＝

38、

39、且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；③错误，当a∥b且方向相反时，即使

40、a

41、＝

42、b

43、，也不能得到a＝b，所以

44、a

45、＝

46、b

47、且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；④错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填②.