江苏省宿迁市宿豫区陆集初级中学初中数学教学论文 矩形的折叠

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1、矩形的折叠矩形在日常生活中应用最为广泛，也最为同大家所熟悉。同学们经常会利用矩形来折叠出其他图形。在每年的中考也是屡有涉及，通常是求折叠后一些线段的长度、相关角度、面积。一、矩形一次折叠1.过矩形一个顶点的折叠例1（2011宜宾中考）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为()A.3B.4C.5D.6解：由折叠知：AB=AF;BE=EF=3,在Rt△EFC中，CE=8BE=5,∴CF=在直角三角形ABC中，由勾股定理得：,即：解得，AB=6故选择D例2（2011年黑龙江省大庆市中考ABCDEA1）如图

2、，ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A1处，折痕交边AD于点E．(1)求∠DA1E的大小；(2)求△A1BE的面积．解：（1）由折叠知：Rt≌Rt,在Rt中，,所以∠BA1C=30°,又∠BA1E=90°，所以∠DA1E=60°.（2）易求,在Rt,2.过矩形两个顶点的折叠（多数情况下是沿对角线折叠）例3（2011岳阳初中毕业学业考试）如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F,下列结论：①;②≌;③;④其中正确的一组是（）A.①②B.②③C.①④D.③④解：①显然错误，由勾

3、股定理可得②正确。由折叠性质知：DE=CD=AB,又∵∠A=∠E=90°,∠AFB=∠EFD∴≌(AAS)③正确。由②得，DE=AB,EF=AF∴④错误。,而∠BDC只有当矩形ABCD是正方形时才是45°.故选择B.3.不过矩形顶点的折叠例4（2011四川绵阳中考）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，求折痕EF的长。解:连接AC，与EF交于点O，由折叠（轴对称）知EF⊥AC，OA=OC==tan∠CAB=即OE=易知：OE=OF∴EF=2OE=评析：一次折叠比较常见，且形式多样，解题时要善于利用折叠（轴对称）的性质，求线段长度时，通常会用到勾股定理等相关知

4、识。二、矩形二次折叠例5（2011绍兴中考）取一张矩形纸片按照下图的方法对折。并沿下图①中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，把剪下①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形的宽和长之比为。（：2）解：依题意，在正六边形EFGHIJ中，∠FGH=120°，设其边长为2x，由折叠知∴∠1=∠2=30°在Rt△BFG中，∴BF=FG=2x=xBG=∴BC=2BG=2又∵FK=EK=FG=2x=x∴AB=4x∴例6（2011年广州市初中毕业生学业考试）如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，

5、则打开后的展开图是（）B①ACAB②DCDB（A）③第8题图A．B．C．D．解：可以找一个矩形按图示实际操作即可。或者发挥空间想象能力，将最后图形逆向打开，即由③还原为②，需要沿CD向上翻折，可得下图：再由此图还原为①，需要向左翻折，可得下图：．故选择D。例7（2011深圳初中毕业学业考试）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。图1ABDCC′GG图2ABDCEC′NM（1）求证：AG＝C′G；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。（1）证明：如图1，由

6、对折和图形的对称性可知，CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°∴AB＝C′D，∠A＝∠C′在△ABG和△C′DG中，∵AB＝C′D，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′GD∴△ABG≌△C′DG（AAS）∴AG＝C′G（2）解：如图2，设EM＝x，AG＝y，则有：G图2ABDCEC′NMC′G＝y，DG＝8－y，，在Rt△C′DG中，∠DC′G＝90°，C′D＝CD＝6，∴C′G2＋C′D2＝DG2即：y2＋62＝（8－y）2解得：∴C′G＝cm，DG＝cm又∵△DME∽△DC′G∴，即：解得：，即：EM＝（cm）∴所求的EM长为cm。评析：二次折

7、叠多是沿矩形对称轴对折即：一次上下对折，再一次左右对折。可借助直观操作寻找解题途径。三、矩形多次折叠第一次操作第二次操作例8（2011年德州市初中学业考试）长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为______