海纳百川 万法归宗 数学教学中化归思想应用初探

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1、海纳百川万法归宗数学教学中化归思想应用初探湖北省当阳二高张永欣刘士成何为化归，从字面上理解“化”即为转化，“归”即为“归纳”，也就是转化归纳之意，亦即通过转化把日常生产生活中产生的实际问题，化未知为已知，化特殊为一般，归纳整理出解决问题的一般方法。从数学角度讲：就是要把生产生活中的实际问题转化为数学问题，将未知的繁杂难解的数学问题通过类比，归纳转化为已知的一个或几个简单的数学问题，或通过化归使某一类相同或相似的数学问题具备一个或几个统一的数学模式或模型，进而加以解决。化归的思想体现在我们生活的各个方面，也体现在我们整个高中数学教学中，是我们解决问题的基本思想

2、,是最重要的数学思想之一。它既具备发散性又具备收敛性。在我们日常教学中，化归一般分为三种类型：⑴化未知为已知、⑵化特殊为一般、⑶等价转化（这一点在高中数学教材第一册（下）中已经叙述）下面仅就我们的教学实例谈谈化归思想在课堂教学中的体会。一、化特殊为一般，寻找特殊事例中隐藏的普遍规律例如在不等式的教学中，课本在两个代数式大小的比较中，出现了这样几个问题：(P4)例1：比较与的大小(P5)练习.1.比较与的大小(P5)2.已知，比较与的大小单纯从解决问题的角度来讲，使用作差比较法学生可以很快地完成问题，教师也完成了自己的教学任务。但一个好的数学教师应善于引导、启

3、发学生去发现问题，解决问题。下面我们再深层次地考察这几个代数式，它们中隐藏了什么东西呢？它又想告诉我们什么呢？学生通过观察可以很快地发现这样一个事实：在例1中：=>则有：<在练习1中：=>则有：<在练习3中：+=+∣-

4、>

5、-

6、则有：<这说明，如果存在四个实数a、b、c、d。同时满足a+b=c+d，,那么一定有。这就是我们的化特殊为一般的化归思路（至于它的证明就是留给学生的一个探索性问题），它也体现了化归思想的收敛性。我们再把这个问题转化一下，转化到我们的日常生活中，就会发现，我们矩形的门窗正好满足这一命题。当周长一定时，矩形两边的差越小，面积越大。这是一个

7、等价转化。这一个转化将我们枯燥的数学问题转化成了日常生活中的现实问题，从而极大地提高了学生学习数学的积极性。二、化一般为特殊、举一反三，寻找或探求未知问题的求解我们在学习了均值不等式后，得出这样一个命题（P10例1）：已知x、y都是正数，那么⑴、如果积xy是定值P，则当x=y时，和x+y有最小值；⑵、如果和x+y是定值S，则当x=y时，积xy有最大值。这个问题的几何解释为，一个长方形如果面积一定，则当它为正方形时，周长最小，反之，如果周长一定，则它是正方形时，面积最大。我们知道正方形是最对称的矩形。所以我们把此命题转化发散开来，就可得下面一些猜想。一个三角形

8、，如果周长一定时，则它为正三角形面积最大；反之如果面积一定，则它是正三角形时，周长最小。一个直角三角形，如果周长一定，则它为等腰直角三角形时，面积最大；如果面积一定，则它为等腰直角三角形时，周长最小。一个封闭的平面图形，周长一定时，图形是圆面积最大；面积一定时，图形是圆周长最小。而一个几何体，当体积一定时，球表面积最小；表面积一定时，球体积最大。这也就是屋檐下滴落的小水滴总是球形的原因。这里既体现了数学等价化归的思想，又体现了化归思想的发散性。它能极大的提高学生运用数学的观点去探求未知世界的兴趣与能力。三、化同类不同型问题为同类同型问题提高学生的归纳整理能力

9、1.求过两圆的交点，并且圆心在直线上的圆的方程。2.直线与圆相交于A、B两点，以AB为直径的圆过原点，求b的值。这两个问题表面上不同，实质上是同一类型问题:①都是两曲线相交;②圆心在某一直线上。故都可设方程为通过两曲线交点的曲线系方程的类型加以求解。再如：1.过点A（-2，-3）的直线与线段MN（其中M（-3，1），N（2，0））相交，求直线的斜率k的取值范围。2.已知：线段AB方程为：（-2）,求的取值范围。3.已知：函数在时的函数值可以是正数也可以是负数，求a的取值范围。4.已知直线：不过第四象限，求m的取值范围。5.已知直线与以A（-2，0）、B（3，

10、5）为端点的线段没有公共点，求m的取值范围。这些习题表面上毫无共同之处，但仔细推敲就可发现，它们给出的是同一类型的问题----过一定点的直线与某一线段相交或不相交，求直线的斜率的取值范围类型问题。四、化未知为已知，提高学生识别解决疑难问题的能力在学生得到上面这一类型问题的规律性解法之后，我们又将它变形推广，推广1.已知点（x，y）在圆上，求的最大、最小值。推广2.求函数最大、最小值。学生通过上面的练习已经可以很快地通过联想归纳出这是过定点的直线与圆有交点，求直线的斜率的取值范围问题。这又是化未知为已知了，类似与此的问题，经过多次的归纳总结，学生就会自觉不自觉

11、地学习到这种化归的思想,从而举一反三，使之思维活跃，