抽象函数(论文)

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1、抽象函数解法例说石光华侨联合中学邱尚程函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。由于抽象函数具有一定的抽象性，其性质隐而不露，因而学生对抽象函数问题比较害怕。其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若

2、能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路。本文从这一认识出发，浅谈高一阶段几种比较常见的类型的抽象函数及其解法。1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。基本类型：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）典型函数：f(x)=kx比较常用的一些数据：f（0）＝f（0＋0）＝f（0）＋f（0）∴f（0）=0f（0）=f（x－x）＝f（x）＋f（-x）∴f（-x）=-f（-x）例1、已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y），f（4）＝16，求f（-2）

3、解：f（4）＝f（2＋2）＝f（2）+f（2）=16∴f（2）=8∴f（-2）=-f（2）=-8例2、已知：是f(x)在R上的增函数，f(2)=1,f（x＋y）＝f（x）＋f（y）解不等式:f（x）+f（x-2）<3分析：由题设可猜测：f（x）是y＝x的抽象函数，且f（x）为单调增函数解：3=3f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=f(6)∴f（x）+f（x-2）<3=f(6)∴x+(x–2)<6∴x<4例3、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（

4、x）在区间[－2，1]上的值域。分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴　f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］。2、指数函数型抽象函数指数函数型抽象函数，即由指数函数抽象而得到的函数。基本类型：f（x＋y）＝f（x）••f（y）典型函数：f(x)=ax(

5、a>0,a≠1)比较常用的一些数据：若f（x）≠0则f（0）＝1且f（x）＞0。例4、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。解：（1）令y＝0代入，则，∴。若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。例5

6、、设函数y=f(x)定义在R上，对于任意实数x,y，有f（x＋y）＝f（x）••f（y），且当x>0时，01②求证：f(x)在R上递减分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。当x>0时，00∴f（0）≠0∴f（0）=1f（0）=f（x－x）＝f（x）••f（-x）→f（-x）=1/f(

7、x)当x>0时，-x<0。当x>0时，01∴当x<0时,f(x)>1证明：②从已知和以上证明得f（x）＞0设∵当x>0时，0，0f(x2)∴f(x)在R上递减3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。基本类型f（xy）＝f（x）＋f（y）典型函数：f(x)=logax(a>0,a≠1)常用的一些数据f（1）＝f（1•1）＝f（1）＋f（1）→f（1）=0f（

8、1）=f（x•）＝f（x）＋f（）=0→f（）=-f（x）例6、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。分析：由题设可猜f（x）是对数函