2019高考数学压轴大题提分练带解

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1、2019高考数学压轴大题提分练带解1．(12分)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点分别为：F1(－22，0)，F2(22，0)，且双曲线C经过点P(42，27)．(1)求双曲线C的方程；(2)设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x＝2上，且OA→?OB→＝2．0.是否存在以点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．解：(1)点P(42，27)在双曲线C上．32a2－28b2＝1①，b2＝8－a2②②代入①去分母整理得：a4－68a2＋32×8＝0，解得a2＝4，b2＝4．∴所求双曲线C的方程为x24－y24＝1．

2、(2)设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(2，t)，其中x0＞2或x0＜－2．当y0≠t时，直线AB的方程为y－t＝y0－tx0－2(x－2)，即(y0－t)x－(x0－2)y＋tx0－2y0＝0，若存在以点O为圆心的定圆与AB相切，则点O到直线AB的距离必为定值．设圆心O到直线AB的距离为d，则d＝

3、tx0－2y0

4、?y0－t?2＋?x0－2?2，∵y0≠0，∴t＝－2x0y0，又x20－y20＝4，∴d＝22

5、y20＋2y0

6、2y40＋8y20＋82y20＝22

7、y20＋2y0

8、2

9、y20＋2y0

10、＝2，此时直线AB与圆x2＋y2＝4相切，当y0＝t时，x0＝－t22，代入

11、双曲线C的方程并整理得t4－2t2－8＝0，解得t＝±2，此时直线AB：y＝±2，也与圆x2＋y2＝4相切．综上得存在定圆x2＋y2＝4与直线AB相切．2．(12分)已知函数f(x)＝alnx－2ax＋1．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)对任意的x≥1，不等式f(x)＋ex－1≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝a?1－2x?x，当a＞0时，令f′(x)＞0?0＜x＜12，f′(x)＜0?x＞12，所以此时f(x)在区间0，12递增，12，＋∞递减；当a＜0时，令f′(x)＞0?x＞12，f′(x)＜0?0＜x＜12，所以此时f(x)在区间12，＋∞递增，0

12、，12递减．(2)令g(x)＝f(x)＋ex－1＝alnx－2ax＋1＋ex－1，x≥1，∴g′(x)＝ax－2a＋ex－1，令h(x)＝ax－2a＋ex－1，h′(x)＝x2ex－1－ax2，令φ(x)＝x2ex－1－a，显然φ(x)在x≥1时单调递增，∴φ(x)≥φ(1)＝1－a．当a≤1时，φ(x)≥φ(1)≥0，h′(x)≥0，h(x)在[1，＋∞)上递增，所以h(x)≥h(1)＝1－a≥0，则g′(x)≥0，∴g(x)在[1，＋∞)上递增，∴g(x)≥g(1)＝2－2a≥0，此时符合题意；当a＞1时，φ(1)＜0，此时在[1，＋∞)上存在x0，使φ(x)在(1，x0)上值

13、为负，此时h′(x)＜0，h(x)在(1，x0)上递减，此时h(x)＜h(1)＝1－a＜0，∴g(x)在(1，x0)上递减，∴g(x)＜g(1)＝2－2a＜0，此时不符合题意；综上a≤1．