考研线性代数复习

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1、一、行列式1、n阶行列式的概念和性质性质1设A为n阶矩阵，则

2、AT

3、=

4、A

5、.性质2若交换n阶矩阵A的某两行(或某两列)得到矩阵B，则有

6、B

7、=-

8、A

9、.推论若n阶矩阵A有两行(或两列)元相同，则

10、A

11、=0.线性代数复习性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.性质5如果行列式的某一行(或某一列)的每个元均表为两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和，即(设A的第i行为aij=bij+cij,j=1,2,…,n)性质6将n阶矩阵

12、A某行(或某列)的k倍加到另一行(或另一列)上，得到n阶矩阵B，则

13、B

14、=

15、A

16、.推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.例计算2、n阶行列式的计算（1）利用行列式的性质（2）按一行（一列）进行展开解提取第一列的公因子，得1、矩阵的概念，零矩阵、单位矩阵、对角矩阵等特殊矩阵的概念.2、矩阵的运算及运算规律.（1）加法、减法运算.（2）数乘运算.（3）乘法运算二、矩阵对于矩阵的乘法需注意以下三点：第一只有矩阵A的列数与矩阵B的行数相同时AB才有意义.第二乘积C=(cij)mn的第i行第j列的

17、元cij等于矩阵A的第i行每一个元与矩阵B的第j列的对应元的乘积之和.第三乘积矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数.矩阵的乘法运算满足的运算法则：（1）Ok×mAm×p=Ok×p,Am×pOp×n=Om×n;(2)设A是m×n矩阵,Em是m阶的单位矩阵,En是n阶的单位矩阵,则EmA=A,AEn=A;（3）(AB)C=A(BC);（4）A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(5)k(AB)=(kA)B=A(kB).(1)矩阵的乘法运算不满足交换律.(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.(3)

18、矩阵的乘法不满足消去律,即如果AB=CB,BO,不一定能推出A=C.注意（4）矩阵的转置（5）方阵的行列式运算性质3、可逆矩阵的概念、性质性质（1）.如果A可逆，则A-1亦可逆，且(A-1)-1（2）.如果矩阵A可逆，则对于非零常数k,kA也可逆，并且（3）.如果A，B均为n阶可逆矩阵，则AB也可逆，并且(AB)-1=B-1A-1.（4）.如果矩阵A可逆，则其转置矩阵AT也可逆，并且(AT)-1=(A-1)T.(2)掌握用伴随矩阵的方法求可逆矩阵的逆矩阵的方法（）n阶方阵A可逆的充分必要条件是：(3)掌握用初等变换的

19、方法可逆矩阵的逆矩阵及解矩阵方程1、矩阵的三种初等变换2、用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形.3、矩阵等价的概念.4、初等矩阵与初等变换的关系.三、矩阵的初等变换（1）矩阵的秩的概念及基本性质.（2）初等变换不改变矩阵的秩.（3）用初等变换求矩阵的秩.（4）矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的行数.5、矩阵的秩6.用初等变换的方法解矩阵方程例求解方程AX=A+X，其中解把所给方程变形为可见A-EE，因此A-E可逆，且1、n维向量的概念，向量组的概念及向量与矩阵的对应.2、向量组的线性组合的概念，一个向量组能由另一个

20、向量组线性表示的概念.3、向量组B能由向量组A线性表示的概念及其矩阵表示式.四、向量组的线性相关性4、向量组线性相关、线性无关的概念，向量组线性相关性理论的相关命题.（2）向量组线性相关的充要条件是齐次线性方程组有非零解.（1）则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．（3）（4）向量组线性相关的充要条件是存在某个向量，使能由其余m-1个向量线性表示.（5）若向量组则向量组也线性相关.（6）m个n维向量组成的向量组，当m＞n时一定线性相关.5、向量组的最大无关组和向量组的秩的概念，向量组的秩与矩阵的秩的关系.（7）设向

21、量组线性无关，而向量组线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的.定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩6、用矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组.例设矩阵解(1)n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)＜n.(2)m×n矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n–r.（3）齐次线性方程组的基础解系的概念，熟悉基础解系的求法.齐次线性方程组五、线性方程组（1）非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广

22、矩阵B的秩，且当R(A)=R(B)=n时,方程组有唯一解，当R(A)=R(B)=r＜n时方程组有无限多解,非齐次线性方程组通解的构造.非齐次线性方程组(1)求齐次线性方程组的基础解系(2)求非齐次线性方程组的通解求解线性方程组例设有线性方程组问λ取何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无限多个解?并在有无限多个解时求