物理毕业论文--平移对称多体纠缠态的分类

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1、平移对称多体纠缠态的分类摘要：本文讨论了具有平移对称性的量子比特纠缠的分类问题。通过建立一个能够由两个整体特征：周期模式和循环单元完全确定的态空间的对称基，这些对称基态能被分解成不同的相。纠缠态的等价分类可以从量子相变的观点来理解：不等价的纠缠态必须属于不同的相。并且它们之间的转变必然伴有相变。另外，由不同相组成的态是作为对称破缺相来划分的，因为它具有截然不同的整体特征。关键词：平移对称，纠缠态，周期模式，循环单元，对称基1、引言纠缠态的描述有两个基本内容：纠缠态的模式和大小。由于三量子比特和态的发现[1]，人们意识到在多体系统中可能存在不同形式的纠缠态，

2、它们不能通过彼此转化。从量子信息的观点看，这些纠缠态在处理不同的任务时可能表现出不同的性能。因此，通过对多体纠缠态进行分类是很有意义的。然而这任务是很困难的，哪怕是对简单的四体纠缠态，基于不同的先决条件也存在着很多不同的分类[2-4]。这困难是因为这样一个事实，多体纠缠态不完全遵循状态的局域特征，而是遵循状态的整体特征。这样一来局域测量就只能呈现有限的纠缠信息。尽管存在这样的困难，针对多体纠缠态的不同方面，一些多体纠缠态的分类方法已经被提出来了。多体态的施密特分解是最早提出的[5]。此外，所谓的施密特张量的秩也被引入，其中至关重要的是找到直积态基矢的最小分

3、解[6]。一个可行的方法是找到不变多项式，其中不同的模式可以用来对多体纠缠态进行分类[3,7]。在以前的研究中一个共同特点是，为了得到多体纠缠态的全部信息人们不得不尽可能多的引入局域测量。现在，多体纠缠态的对称性已经得到广泛的关注[13-16]，因为它能表现出态的整体特征。然后一个有趣的问题出现了，纠缠态的两个整体特征之间的联系是什么？一些积极的结论已经被得到。例如，通过识别状态的不同的子结构[14]或者找到Majorana多项式的根[15]，对具有交换不变性的多体纠缠态的分类已经完成。既然我们承认这样一种观点：纠缠态的整体特征只能从整体的观点来体现，那么

4、，通过限制波函数的整体对称性可能会发现对多体纠缠态的一种分类。这篇文章将为了这一目的而展开。在文章中，通过建立一个平移不变的纠缠态基，一种平移对称的多体纠缠态的分类方法被提出。我们的研究表明，对任意的量子比特系统，通过两个整体特征：周期模式和循环结构，对称的纠缠态能被分解成一些不等价的类别。此外，通过区分不同的拓扑特征，相的概念能被定义。我们证明不同相之间的转换必然伴随着相变。然而由不同基态叠加成的任意态被认为是不对称的，因为它至少是两个不同整体特征的混合。因此，这些叠加态都被统称为对称破缺相。重要的是这些状态在自旋链系统中可以实现，这样一来，这种分类在实

5、验上是有意义的。2、态的平移对称性我们首先提供一个有关态的对称性的一般讨论。态的对称性是这样定义的：定义1对一个对称算符，如果（1）模型态的对称性体现了态的整体特征，根据这些特征不同多体纠缠态能被识别。一个关键的问题是，为了这个目的哪种对称是合适的？我们的答案是平移对称，作为特殊情况，排列对称也包括在内。这是从对纠缠的理解中得到的。事实上纠缠态描述的是单粒子态的相干关联。假设一个单粒子态作为一个格点，如图1.所示我们得到一个由两个体子晶格组成的量子比特系统的晶格模型，在这个图例中，一个量子比特由两个具有相同标识的不同子晶格表示，由叠加系数决定的纠缠态，可以

6、由连接具有不同标识的格点的线来表示，但是没有对应于完全可分状态的线。对于晶格模型平移对称性是很基本的，因此，对于我们的讨论，它是一个可行的选择。此外从实验的观点看，晶格图形表明在固体系统中具有平移对称的纠缠态是很容易得到的（因为它的自然周期结构）。顺便提一下，周期性边界条件是自然而然的假设。应该指出晶格模型仅仅指量子态，不对应任何具体系统。原因是很简单的，对一个给定的态我们能从不同的系统得到它。纠缠态的重要意义是不同单粒子态之间的相干关联。为了方便我们把晶格模型假设为一维情况。图1.三量子比特纠缠态的图形表示法图2.量子比特态下算符的平移操作图左矢表示不同

7、的单粒子态，阿拉伯数字代表不同的量子比特。算符符合所有单粒子态的顺时针旋转，它使所有的单粒子态序列保持不变。这样一来，这个单粒子态组被命名为循环单元。2.2态的平移对称如图，多体纠缠态的平移算符按照图2.所示被定义，其中，单粒子态周期性边界条件表示为。对来说主要的观点是，单粒子态不能被固定在任何确定的量子比特上，而是像图2.那样通过所有单量子态的整体旋转任意转变成其它态。更重要的是，所有单量子态的相对距离在旋转中保持不变。这样一来，在这篇文章中单粒子态组可以被命名为循环单元，它决定着纠缠态的形式。例如，是一个所有可能的循环单元的叠加态（在附录中更多例子能被

8、发现）。这个定义可以被推广到任意的n-level态。应该强调，算符