随机信号分析CH2习题及答案

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1、2.1设有正弦随机信号，其中，为常数，是均匀分布的随机变量。（1）画出该过程两条样本函数；（2）确定时随机变量的概率密度函数，并画出其图形；（3）当时，求的概率密度函数。解：（1）随机信号的任意两条样本函数如题解图2.1(a)所示：题解图2.1(a)（2）随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数：当时，，19当时，，在各时刻，随机变量的概率密度函数图形如题解图2.1(b)所示：题解图2.1(b)（3）当时，，，此时概率密度函数为：2.1192.1掷一枚硬币定义一个随机过程：设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求：（1）的一维分布函数，；（

2、2）的二维分布函数；（3）画出上述分布函数的图形。2.3解：（1）一维分布为:19(2)二维分布函数为2.1假定二进制数据序列{B(n),n=1,2,3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。试问，19（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？（2）连续4位构成的串的平均串是什么？（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？2.4解：（1）（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1,2,3,….其中B(n)为离散随机变量，由题意可

3、知，它们是相互独立，而且同分布的。所以有：²串（4bit数据）为：其矩特性为：因为随机变量的矩为：均值：19方差：所以随机变量的矩为：均值：方差：²如果将4bit串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：串平均：串方差：19（3）概率达到最大的串为2.1正弦随机信号,其中振幅随机变量A取值为1和0，概率分别为0.1和0.9，试问，（1）一维概率分布；（2）二维概率分布；（3）开启该设备后最可能见到什么样的信号？（4）如果开启后时刻测得输出电压为1伏特，问时刻可能的输出电压是什么？概率多少？解：（1）19（）（2）（）（3）因为，所以开启该设备后90%的情况会见

4、到无电压(A=0)。（4）t=1时刻，有，可得A=1；t=2时刻，有；因为在A=1的前提下，t=2时刻输出电压为确定值1，即。2.1192.1设质点运动的位置如直线过程，其中与，并彼此独立。试求t时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？2.7解：独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布（）所以它的一维概率密度函数为:2.2假定（-1,+1）的伯努利序列的取值具有等概特性。试求它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？2.8解：192.12.2给定随机过程和常数，试以的自相关函数来表示差信号的自相关函数。2.10解：由题意可得：2.3两个随机信号与，其中A与B为未知19

5、分布随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A、B与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，（1）两个随机信号的互相关函数；（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）性与统计独立性；解：（1），（2）①如果E[A]或E[B]为0，或E[A]、E[B]都为0，则，随机信号X(t)与Y(t)正交且互不相关；②如果E[A]与E[B]均不为0，则，X(t)与Y(t)不正交，19相关；但(包含与在同一时刻正交、无关)③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)不相互独立。或2.1二项式随机信号，其中是取值的伯努利随机信号，和。试求：（1）的均值；（2

6、）；（3）的相关函数；解：(1)的均值：因为19所以(2)因为贝努里信号在不同时刻彼此独立，则（）(3)的相关函数：192.1假定正弦电压信号，其中，服从均匀分布，服从均匀分布，它们彼此独立。如果信号施加到RC并联电路上，求总的电流信号及其均方值。解：由电路原理的相关知识可知：19，则2.12.2零均值高斯信号的自相关函数为，求的一维和二维概率密度。解：(1)因为，所以一维概率密度函数为：19(2)高斯信号的二维概率密度函数为：则192.12.22.3某高斯信号的均值，协方差，写出当、和时的三维概率密度。解：由定义得：又因为设19则2.1设随机变量，其中，，求的概率

7、密度和特征函数（二维特征函数不要求）。题2.19解：因为与，，而。于是，。则(X，Y)的概率密度函数为1919