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1、2009年广州市高二数学竞赛试题2009.5.10考生注意：1•用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；2•不准使用计算器；3•考试用时120分钟，全卷满分150分.一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.■1.已知复数Z满足—=3,则复数Z的实部与虚部Z和为Z-11.24A.3+iB.1—iC・一D・一333,sin(o+20)i”+亠2，己知—爲G—=3,++则—禹万—制值为A.2B.1C.-D.-223.已知定义在R上的函数/(兀)为奇函数，且函数/(2x+l)的
2、周期为5,若/(1)=5，则/(2009)+/(2010)的值为A.5B.1C.0D.-54.已知[兀]表示不超过x的最大整数,则[log2l]+[log22]+[log23]+…+[log22009]的值为A.18054B.18044C.17954D.17944二.填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分・5.关于兀的不等式>a(°>o)的解集是6.在区间［-1,1］上随机任取两个数x,y,则满足x试判断向量a与〃能否平行,并说明理由?求函数f(x)=ab的最小值.^y2的概率等于.7.设/(x)=min
3、2x+3,x2+l,l
4、l-3x
5、,则max/(x)的值为.8.计算机执行以下程序：①初始值x=3,5=0；②x=x+2；③④若5>100,则进行⑤，否则从②继续执行；⑤打印x；⑥结束.那么山语句⑤打印出的数值为・9.在ABC中，已知tan4=丄，tanB=丄，若ABC最长边的长为1,则最短边的长23为.10.x-4y+3<0,已知定点4（2,0），点P（x,y）的坐标满足<3x+5y-25<0,当x-a>0.OPOA1041(O为坐标原点)的最小值是2时，实数G的值是三、解答题：本大题共5小题，满分90分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.11.(
6、本小题满分15分)已知向最a=——0）相交于A、B两点,且Q4丄OB（其中a厅。为坐标原点）.（1
7、）若椭圆的离心率为丄,求椭圆的方程;2（2）求证：不论a"如何变化，椭圆恒过第一•象限内的一个定点P,并求点P的处标.14.(本小题满分20分)定义一种新运算*,满足〃*£=〃/"(仏为非零常数).(1)对于任意给定的设an=n*k(归,2,3,…),证明:数列｛%｝是等差数列;(2)对于任意给定的〃，设bk=n^k("1,2,3,…),证明：数列血｝是等比数列;(3)设cn=n*n(〃=1,2,3,…)，试求数列｛c“｝的前n项和Sn.15.(本小题满分20分)定义函数F(x,y)=(1+x)v,x,ye(0,+oo).(1)令函数/
8、(x)=F[l,log2(?-3x)]的图象为曲线q,求与直线4兀+15y—3=0垂直的曲线G的切线方程；(2)令函数g(x)=F[1,log2(r3+tzx2+ftx+1)]的图象为曲线C?,若存在实数b使得Illi线在兀。(X。e(1,4))处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；(3)当x,ygN*,且兀vy时,证明F(x,y)>F(y,x).2009年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1・参考答案与评分标准指出了每道题要考査的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要
9、考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.1.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.2.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.3.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：每小题6分，满分24分。1.D2.A3.D4.A二、填空题：每小题6分，满分36分。5.xlx<-JL^0167.58.21510.2简答与提示：4.根据
10、题意，当
