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《广州市高二数学竞赛试卷(含答案及解析).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2008年广州市高二数学竞赛试卷考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．1．若集合有4个子集，则实数的取值范围是（）A．B．RC．RD．且R2.已知函数则等于()A．B．C．D．3．在空间直角坐标系中，点的坐标分别为、、、，则三棱锥的体积是（）A．2B．3C．6D．104.已知直线与圆R有交点,则的最小值是()A．B．C
2、．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．5.△的三个内角所对的边分别为,若,则.6．已知直角梯形的顶点坐标分别为，则实数的值是.7.在数列中，＝2，N，设为数列的前n项和，则的值为.8．已知三点在同一条直线上，为直线外一点，若0，R，则.9．一个非负整数的有序数对，如果在做的加法时不用进位，则称为“奥运数对”，称为“奥运数对”的和，则和为的“奥运数对”的个数有___________个.10.如图1所示,函数的图象是圆心在点,半径为1的两段圆弧,则不等式的解集是.三、解答题：本大题共5小
3、题，共90分．要求写出解答过程．图111．（本小题满分15分）已知函数(R，)的部分图象如图2所示．(1)求的值；（2）若关于的方程在内有解,求实数m的取值范围．图212．（本小题满分15分）如图3所示,在三棱柱中,底面，.（1）若点分别为棱的中点，求证：平面；(2)请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体.简单地写出一种切割和拼接方法，并写出拼接后的长方体的表面积（不必计算过程）.图313．（本小题满分20分）已知点，是椭圆：上不同的两点，线
4、段的中点为.（1）求直线的方程；（2）若线段的垂直平分线与椭圆交于点、，试问四点、、、是否在同一个圆上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.14．（本小题满分20分）已知在数列中，，(ÎR,ÎR且¹0,N).（1）若数列是等比数列，求与满足的条件；（2）当，时，一个质点在平面直角坐标系内运动，从坐标原点出发，第1次向右运动，第2次向上运动，第3次向左运动，第4次向下运动，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，设第次运动的位移是，第次运动后，质点到达点,求数列的前项和.15．（本小题满分20分）已知函数R，
5、且.（1）当时，若函数存在单调递减区间，求的取值范围；（2）当且时，讨论函数的零点个数.2008年广州市高二数学竞赛参考答案一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．1．D2．C3．A4．B二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．5．6．7．8．09．2710．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分）解：(1)由图象可知函数的周期为()=，∴．函数的图象过点，∴且.∴解得：.∴.（2）由（1）得.当时，，得.令，则.故关于的方程在内有解等价于关于的方程在上有解.由
6、，得.，∴.∴实数m的取值范围是.12．（本小题满分15分）（1）证法一：以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，依题意得、.∴，，.∴.∴.平面，平面，.∴平面.证法二：连结，底面，平面，∴.，分别为棱的中点，∴.，∴Rt△Rt△.∴.,∴.∴.∴，∴平面.∴.，∴平面.平面，∴.同理可证.，∴平面.（2）切割拼接方法一：如图甲所示，分别以的中点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为长方形如图①所示，），此时所拼接成的长方体的表面积为16.图甲图①切割拼
7、接方法二：如图乙所示，设的中点分别为，以四点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为正方形），此时所拼接成的长方体的表面积为.图乙图②13．（本小题满分20分）解一：（1）点，是椭圆上不同的两点，∴，.以上两式相减得：，即，，∵线段的中点为，∴.∴，当，由上式知，则重合，与已知矛盾，因此，∴.∴直线的方程为，即.由消去，得，解得或.∴所求直线的方程为.解二:当直线的不存在时,的中点在轴上,不符合题意.故可设直线的方程为,.由消去，得(*).的中点为,..解得.此时方程(*)为,
8、其判别式.∴所求直线的方程为.（2）由于直线的方程为，则线段的垂直平分线的方程为，即.由得，由消去得，设则.∴线段的中点的横坐标为，纵坐标.∴.∴.∵，，∴四点、、、在同一个圆上，此圆的圆心为点，半径为，其方程为.14．（本小题满分20分）解:（1），，¹0，①当时，，显然是等比数列；②当时，.数列是等
