2007年广州市高二数学竞赛试卷_5.pdf

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1、2007年广州市高二数学竞赛试卷三题号一二合计（11）（12）（13）（14）（15）得分评卷员考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．x17,x0,1．设函数f(x)2，若f(a1)1，则实数a的取值范围是（）．x,x0.A．-,-4B．4,0C．0,D．,4U0,22xy2．椭圆1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上

2、，那么PF1是PF2的（）．123A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍2123．已知集合Mx,ylgxylgxlgy，则集合M中元素的个数为（）．4A．0个B．1个C．2个D．无数个uuuruuuro4．设M是ABC内一点，且ABAC23,BAC30，定义f(M)(m,n,p)，其中m,n,p分别是114MBC,MCA,MAB的面积，若f(P),x,y，则的最小值是（）．2xyA．931B．18C．16D．9二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．22320075．已知复数z满足：zz10，则1zzzz_________

3、_．226．在区间2,2上任取两实数a，b，则二次方程xaxb0有实数解的概率为．7．已知函数f(x)满足：f(mn)f(m)f(n),f(1)4，则2222f(1)f(2)f(2)f(4)f(3)f(6)f(251)f(502)L．f(1)f(3)f(5)f(501)28．奇函数fx在R上为减函数，若对任意的x0,1，不等式fkxfxx20恒成立，则实数k的取值范围为．9．四面体ABCD中，AB＝CD＝6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于．123210．已知x,y满足x4y16x，则函数zxy10的最大值与最小值之

4、和为．44三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分）已知函数f(x)mgn，其中m(sinxcosx,3cosx)，n(cosxsinx,2sinx)（0），若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于．2（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，a3,bc3，当最大时，f(A)1，求ABC的面积．12．（本小题满分20分）2各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn1anan．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b12，bn12bn，数列{cn}满足a

5、n(n为奇数)c，数列{cn}的前n项和为Tn，当n为偶数时，n：0求Tn；nbn(n为偶数)（Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的Tn设计了一个程序如图，但同学乙认为这n：n2个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．2nPn：24n4NoTnPn：2007？Yes打印n结束13．（本小题满分20分）多面体ABCDA1B1C1D1的直观图，主视图，俯视图，左视图如下所示．C1D1B1A1a2aaDC2aaaaAB22直观图主视图俯视图左视图（Ⅰ）求AA与平面ABCD所成角的正切值；1（Ⅱ）

6、求面AA1D1与面ABCD所成二面角的余弦值；（Ⅲ）求此多面体的体积．14．（本小题满分20分）uuuruuur222如图，已知抛物线C:x2pyp0与圆O:xy8相交于A、B两点，且OAgOB0（O为坐标原点），直线l与圆O相切，切点在劣弧?AB（含A、B两点）上，且与抛物线C相交于M、N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和．(Ⅰ)求p的值；(Ⅱ)求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．ylNMBAFOOx15．（本小题满分20分）已知函数f(x)xsinx是区间1,1上的减函数．2（Ⅰ）若f(x)tt1在x[1,1]上恒成立，求

7、t的取值范围；lnx2（Ⅱ）讨论关于x的方程x2exm的根的个数．x2007年广州市高二数学竞赛参考答案1．选B．2．选A．3．选D．4．选B．5．填1．16．填．47．填2008．8．填,2．379．填．810．填20．2211．解：（Ⅰ）f(x)mgncosxsinx23cosxsinxcos2x3sin2x2sin(2x)．620，∴函数f(x)的周期T．2T由题意可知,即,解得01．2222故的取值范围是{

8、01}．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的最大值为1，f(x)2sin(2x)．61f(A)1，sin(2A)．62135而2A，2A，A．6666

9、63222bca22由余弦定理，知cosA，bcbc3，又bc3，2bcb2b1联立解得或．c1c213SABCbcsin