高二数学竞赛试题及答案

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1、高二年级学科知识竞赛数学试卷第I卷(选择题)一、填空题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.命题方程表示焦点在轴上的椭圆,则使命题成立的充分不必要条件是A.B.C.D.2.已知集合,,则()A.B.C.D.3.若数列满足,则其前10项和为()A.B.C.D.4.已知双曲线的离心率为,左顶点到一条渐近线的距离为,则该双曲线的标准方程为()A.B.C.D.5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()①若,则;②若,则;③若,则;④若,则.A.①②B.③④C.①③D.②④6.设,则下列恒成立的是()A.B.C.D.7.已知函

2、数(,,)的部分图像如图所示,则函数的解析式为()A.B.C.D.8.正方体中,是的中点,为底面的中心,为棱上的任意一点,则直线与直线所成的角为()A.B.C.D.与点的位置有关9.一只蚂蚁从正方体的顶点处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是()A.①②B.①③C.③④D.②④10.函数的图象是()A.B.C.D.11.设点分别为椭圆的左右焦点,为右准线,若在椭圆上存在点M,使,,点M到的距离成等比数列,则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.12.已知全集,集合,集合的补

3、集所对应区域的对称中心为,点是线段上的动点,点是轴上的动点,则周长的最小值为()A.B.C.D.第II卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量与的夹角为120°,且

4、

5、=2,

6、

7、=3.若=λ+,且⊥,则λ=.14.正数满足,则的最小值为.15.设为等差数列的前n项之和,,则.16.对于函数,有下列4个命题:①任取,都有恒成立;②,对于一切恒成立;③函数有3个零点;④对任意,不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知,设命题:函数在区间上与轴有两个不同的交

8、点;命题:有最小值.若是真命题,求实数的取值范围.18.(12分)如图所示,已知二面角αMNβ的大小为60°,菱形ABCD在面β内,A,B两点在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中点,DO⊥面α,垂足为O.(1)证明:AB⊥平面ODE;(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.19.(12分)如图所示,在中,点为边上一点,且为的中点,.(1)求的长;(2)求的面积.20.(12分)设函数是定义域为的奇函数;当时,.(1)当时,求;(2)对任意的,不等式都成立,求的取值范围.21、(12分)已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切.⑴求椭圆的方程

9、;⑵过作互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值和最小值.22.(12分)已知数列的前项和为,对任意满足,且,数列满足,其前9项和为63.(1)求数列和的通项公式;(2)令,数列的前项和为,若对任意正整数,都有,求实数的取值范围;(3)将数列的项按照“当为奇数时,放在前面;当为偶数时,放在前面”的要求进行“交叉排列”,得到一个新的数列:,求这个新数列的前项和.参考答案一、选择题1.D解析:方程表示焦点在轴上的充要条件是,解得,所以选项中是的充分不必要条件的是,故选D.2.A解析:依题意,故.3.D解析:由已知4.A解析:,渐近线方程

10、,因此左顶点到一条渐近线的距离为,即该双曲线的标准方程为,选A.5.D解析:对于①,有可能,故错误;对于③可能相交,故错误.所以选D.6.D解析:7.D解析:时,,代入验证,排除A,B,C选项,故选D.8.C.解析:如下图所示建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为,设,,,,∴,,∴,即,故夹角为,故选C.9.D解析:最短距离是正方体侧面展开图,即矩形的对角线(经过)、或矩形的对角线(经过),故视图为②④.10.A解析:由偶函数排除B、D,排除C.11.A解析:由题意12.B解析:∵点到直线的距离∴直线始终与圆相切,∴集合表示除圆以外所有的点组

11、成的集合,∴集合表示圆,其对称中心如图所示:设是点关于直线线段的对称点,设,则由求得,可得.设关于轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为,则此时,的周长为,为最小值,二、填空题13.解析:由·=(λ+)·(-)=λ·-λ()2+()2-·=0,得-3λ-4λ+9+3=0,解得λ=.14.9解析:15.21解析:16.①③④【解析】:的图象如图所示,①的最大值为,最小值为,所以任取,都有恒成立,正确;②,故不正确;③如图所示,函数有个零点;④由题意,可得,,,.证明,即证明,又,,所以,所以对任意,不等式恒成立,所以对任意,不等式恒成立正确.故

12、答案:①③④.三、解答题17.解析:若是真命题,则为假命题且为真命题.分别求出为真时,参数的范围,取其补集即得为假时,参数的范围,取交集

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