高二数学竞赛试题及答案

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1、高二年级学科知识竞赛数学试卷第I卷（选择题）一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是A．B．C．D．2．已知集合，，则（）A．B．C．D．3.若数列满足，则其前10项和为（）A．B.C.D.4．已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.A.①②B.③④C.①③D.②④6.设，则下列恒成立的是（）A.B.C.D.7．已知函

2、数（，，）的部分图像如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．8．正方体中，是的中点，为底面的中心，为棱上的任意一点，则直线与直线所成的角为（）A.B.C.D.与点的位置有关9．一只蚂蚁从正方体的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A.①②B.①③C.③④D.②④10．函数的图象是（）A．B．C．D．11.设点分别为椭圆的左右焦点，为右准线，若在椭圆上存在点M，使，，点M到的距离成等比数列，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.12．已知全集，集合，集合的补

3、集所对应区域的对称中心为，点是线段上的动点，点是轴上的动点，则周长的最小值为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量与的夹角为120°，且

4、

5、＝2，

6、

7、＝3.若＝λ＋，且⊥，则λ=.14．正数满足，则的最小值为.15.设为等差数列的前n项之和，，则.16．对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知，设命题：函数在区间上与轴有两个不同的交

8、点；命题：有最小值.若是真命题，求实数的取值范围.18．（12分）如图所示，已知二面角αMNβ的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.(1)证明：AB⊥平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．19．（12分）如图所示，在中,点为边上一点，且为的中点,.（1）求的长；（2）求的面积.20．（12分）设函数是定义域为的奇函数；当时，．（1）当时，求；（2）对任意的，不等式都成立，求的取值范围．21、（12分）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆与直线相切.⑴求椭圆的方程

9、；⑵过作互相垂直的直线，与椭圆分别交于及，求四边形面积的最大值和最小值.22．（12分）已知数列的前项和为，对任意满足，且，数列满足，其前9项和为63．（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；（3）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和．参考答案一、选择题1．D解析：方程表示焦点在轴上的充要条件是，解得，所以选项中是的充分不必要条件的是，故选D.2．A解析：依题意，故.3.D解析：由已知4.A解析：，渐近线方程

10、，因此左顶点到一条渐近线的距离为，即该双曲线的标准方程为，选A.5.D解析：对于①，有可能，故错误；对于③可能相交，故错误.所以选D.6.D解析：7.D解析：时，，代入验证，排除A，B，C选项，故选D.8.C.解析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，设，，，，∴，，∴，即，故夹角为，故选C.9．D解析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形的对角线（经过）、或矩形的对角线（经过），故视图为②④.10.A解析：由偶函数排除B、D,排除C.11.A解析：由题意12.B解析：∵点到直线的距离∴直线始终与圆相切，∴集合表示除圆以外所有的点组

11、成的集合，∴集合表示圆，其对称中心如图所示：设是点关于直线线段的对称点，设，则由求得，可得．设关于轴的对称点为，易得，则直线，和线段的交点为，则此时，的周长为，为最小值，二、填空题13.解析:由·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ()2＋()2－·＝0，得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝.14．9解析:15．21解析：16．①③④【解析】：的图象如图所示，①的最大值为，最小值为，所以任取，都有恒成立，正确；②，故不正确；③如图所示，函数有个零点；④由题意，可得，，，．证明，即证明，又，，所以，所以对任意，不等式恒成立，所以对任意，不等式恒成立正确．故

12、答案：①③④.三、解答题17.解析：若是真命题，则为假命题且为真命题.分别求出为真时，参数的范围，取其补集即得为假时，参数的范围，取交集