2012年广州高二数学竞赛试题

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1、智浪教育--普惠英才文库2012年广州市高二数学竞赛试题2012．5．13考生注意：1．用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；2．不准使用计算器；3．考试用时120分钟，全卷满分150分.一、选择题：本大题共4小题，每题6分，满分24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则有()A.B.C.D.2．已知等差数列的前项和为,且,则公差的值为()A.B.C.D.3.方程所表示的曲线是A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆4.△的内角、、的对边分别为、、，设向量，，则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件二、

2、填空题:本大题共6小题，每题6分，满分36分.5．已知，则的值为*.6．已知向量，，若向量与向量共线（R，且，则的值为*.7.在区间和上分别取一个数,记为,则方程表示焦点在轴上并且离心率小于的椭圆的概率为*.8.三棱锥的所有棱长均为,顶点在底面上的正投影为点,点在上,且使,则的长为*.9．已知函数，若，且，则的取值范围是*.10.对于任意两个正数,定义运算“”如下：，其中为常数.11智浪教育--普惠英才文库已知，并且存在一个非零实数，使得对于任意实数都有，则的值为*.三、解答题:本大题共5小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(本小题满分15分)已知函数的最

3、大值为.(1)求的值;(2)若,求的值.12.(本小题满分15分)如图,在三棱锥中,平面,,,,分别是的中点.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值;(3)求点到平面的距离.13.(本小题满分20分)已知平面内的动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若直线与曲线相交于、两点,问在曲线上是否存在点,使△为等边三角形?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.14.(本小题满分20分)11智浪教育--普惠英才文库已知数列的前项和为,对任意N都有（为常数，）.(1)求数列的通项公式;（2）令，若数列为等比数列，求的值；(3)在满足(2)的条件下,记,设

4、数列的前项和为,求证:.15.(本小题满分20分)已知函数R.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数的图象与函数的图象交于不同两点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，试判断在点处的切线与在点处的切线是否平行，并说明理由.11智浪教育--普惠英才文库2012年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，

5、可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分。1．A2．C3．D4．C二、填空题：每小题6分，满分36分。5．6．7．8．9．10．三、解答题：满分90分。11.(1)解:(其中).∵函数的最大值为∴,解得.(2)解:由(1)知.∵,∴,得.∴11智浪教育--普惠英才文库.12.(1)证明:取的中点,连接.则,又平面,∴平面.∵平面,∴.∵分别为的中点,∴.∵,即,

6、∴.∵平面平面∴平面.∵平面,∴.解:过作且与的延长线相交于点,连接.由三垂线定理知,是二面角的平面角,也是二面角的平面角的补角,在Rt△中，，.在Rt△中，.在Rt△中，，.∴二面角的余弦值为.(2)解:过点作于,由(2)知平面平面,且平面平面,∴平面.∴的长为点到平面的距离.在Rt△中，.11智浪教育--普惠英才文库∵点是的中点,∴点到平面的距离是点到平面的距离的倍.∵,∴平面.∴点到平面的距离等于点到平面的距离.∴点到平面的距离是.13.(1)解法1:∵点到点的距离比到直线的距离小，∴点到点的距离与它到直线的距离相等。∴点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.∴曲线的方程为.

7、解法2:设点的坐标为,依题意得,.当时,得,化简得.当时,得得化简得,得,矛盾.∴曲线的方程为.(2)解:设、的坐标分别为,线段的中点为.由消去,得.∴.∴,.∴点.11智浪教育--普惠英才文库.假设曲线上存在点,使△为等边三角形,设点,由,得,即.又,得.由或解得或∴点的坐标为或.∵点或不在曲线上,∴曲线上不存在点,使△为等边三角形.14.(1)解:当时,,解得,当时,,整理得.∴数列是首项为,公比为的等比数列.∴.(2)解:由(1)得,则.∴.由,得,