[复习]反比例函数图象中基本图形面积的应用

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1、__2图4例3、(2008福建福州)如图4,在反比例函数)一(x〉0)兀的图象上，有点人，伶P、,马，它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S,,S2,S3,则评析：根据函数图象性质以及利用整休思想容易求得51+S2+53=2-0.5=1.5,Q两点(P点在第一象木题也可以分别直接计算»52,S3再求和.例4、(2007福建福州)如图5,已知直线y=^x与双曲线ky=_(R〉0)交于〃两点，月.点4的横坐标为4・(1)求k的值；k(2)若双曲线y=-(k>0)上一点C的纵坐标为8,x求厶AOC的而积；(3)过原点O的另一条直线

2、/交双曲线y=-(k>0)于P,X图5・1限)，若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.评析：这是一道压轴题，它以双曲线与三角形、四边形的面积主线。(1)k=8・・•点C在双曲线上，当y=8吋，x=l(2)思路一：如图5-1,补成矩形DMON.•.点C的坐标为(1,8).过点A,C分别做x轴，y轴的垂线，垂足为M,N,'△AOC=$矩形ondM一ShonC~S^CDA~£OAM=32-4-9-4=15•思路二:如图5-2,所以^MOC=S梯形cefa过点C,A分别做兀轴的垂线，垂足为E,F,则SMOF=S^EOC=^k=4解答如下:Q・・•点C在双曲线y=2上，当

3、>=8时，x=.X•••点C的坐标为(1,8).Q・・•点C,A都在双曲线y=-±,x•:S'COE-S'AOF~4…SCOE+S梯形CEFA=SCON+SAOF•…SHCOA=S梯形.*•*S悌形cefa=—x(2+8)x3=15,/.S^COA=15•(1)只耍将以A、B、P、Q为顶点平行四边形而积转化为三角形AOP的而积即可，同时注意P点的位置，因此需要分类讨论。•・•反比例函数图象是关于原点。的屮心对称图形，・・OP=OQ,OA=OB・.••四边形APBQ是平行四边形.$△/>0人=—S平行四边形人咖=—x24=6.Q设点P横坐标为m{m>OJLmH4),得P(m9——).m过

4、点P,A分别做兀轴的垂线，垂足为E,F,•・•点P,A在双曲线上，:・S、pqe=Smof=4.若0v加v4,如图5_3,TS'POE+S梯形PEFA=^J^POA+SAOFy1(Q=6.•••—2+—・(4—加)=6.24,如图5—4,tS、aof+S梯形人加>=S、aop+••S梯形pefa=Smoa=6•・・k2(加―4)=6,21mJ解得/n=8,tn=—2(舍去)./.P(8,l).・・・点P的坐标是P(2,4)或P(8,l)・例5(08浙江湖州)已知：在矩形AOBC中，03=4,(1)求证：/XAOE与厶B

5、OF的而积相等;0A=3.分别以OB,OA所在直线为兀轴和y轴，建立如图6-1所示的平而直介坐标系.F是边BC上的一个动点(不与3,C重合)，过F点的反比例函数y=*伙＞0)的图象与AC边交于点E.(2)记S=Smef一S“CF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少?(3)请探索：是否存在这样的点F,使得将ACEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.评析：本题命题思路与例四类似，主要考杳反比例函数^=-(^0)的图象性质与图形的而积等。(1)证明:设E(西,兀)，F(x2,旳)，AAOE与AFOB的面积分别为鼻,52,由题意得y.=-,y2=-・

6、Kx2••Si_Xiy1_k,_k■122_2…2?.5,=52,即厶AOE与厶FOB的而积相等.(2)由题意知:E,F两点坐标分别为弔,3)4丿11r1>(ij-ECCF=-4——k3——k22L3丿I4丿,1ri、(1)12-k-2x-4——k3——k2I3丿14丿-1y图6-2图7-1••S—SZEF~S4ECF='2—k—2Secf:.S=-—k2+k.12当k=z-——y=6时，S冇最人值.2x-丄I12丿c_j_QQ最大值一~(—~J4x―丄l12丿(3)如图6-2,存在符合条件的点F,一(21、它的坐标为4,—.I32丿例6(08山东滨州)(1)探究新知：如图7-1,已知ZXA

7、BC与AABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.(1)结论应用：①如图7-2,点M、N在反比例函数y=-(^>0)的图象上,过点M作ME丄y轴，过点N作NF丄x轴，垂足分别为E,F.试应用(1)中得到的结论证明：MN//EF・②若①中的其他条件不变，只改变点M,N的位置如图7-3所示，请判断MN与EF是否平行.评析：这是一道设计新颖、培养学生探究能力的好题。(1)证明：分别过点C