2018版高中数学苏教版选修2-1学案：第一章+常用逻辑用语+131+量+词+word版含答案

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1、常用逻辑用语全称量词与存在量词1.3.1量词［学习目标］1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在暈词2了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.自主学习戸知识梳理知识点一全称显词和全称命题(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,并用符号“乂”表示.(2)全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有〃⑴成立”可用符号简记为▽xUM,d(x),读作"对任意x

2、属于M,有卩⑴成立”.知识点二存在量词和存在性命题(1)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量塑，并用符号“旦_”表示.(2)存在性命题：含有存在量词的命题称为存在性命题.存在性命题“存在M中的元素x,使p(x)成立”可用符号简记为壬丘附，恥),读作“存在M中的元素x,使“(X)成立”・思考(1)在全称命题和存在性命题屮，量词是否可以省略？(2)全称命题屮的“X,M与p(x)”表达的含义分别是什么？答案(1)在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.(2)元素

3、x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示儿何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围./(X)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为兀20”•重点突破题型一全称量词与全称命题例1试判断下列全称命题的真假：(1)VxeR,x2+2>0；(2)VxEN,x4^l；(3)对任意角a,都有sin2a+cos2a=l.解(1)由于VxeR,都有Xmo,因而有F+222>0,即/+2>0,所以命题“VxeR,X2+2>0”是真命题.(2)由于0UN,当x=0时，不成立，所以命题“gWN,

4、(21”是假命题.(3)由于Va^R,sin2a+cos2a=1成立.所以命题"对任意角a,都有sin2«+cos2a=1n是真命题.反思与感悟判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.判断全称命题为假时，可以用反例进行否定.跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：(1)VxeR,X+122；(2)任何一条直线都有斜率；(3)每个指数函数都是单调函数.解(1)由于VxeR,都有“20,因而有x2+l^l,所以“DxWR,卫+132”是假命题.(2)当直线的倾斜角为号时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率

5、”是假命题.⑶无论底数。>1或是0S<1,指数函数都是单调函数，所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题.题型二存在量词与存在性命题例2判断下列存在性命题的真假：(1)3%ez,x3

6、cosx=号”是假命题.反思与感悟判定存在性命题真假的方法：代入法：在给定的集合中找到一个元素X,使命题P(兀)为真，否则命题为假.跟踪训练2试判断下列存在性命题的真假：(1)BxeQ,x2=3；(2)Bx,尹为正实数，使x2+/=0；(3)mxGR,tanx=l；(4)3xeR,lgr=O.解(1)由于使,=3成立的数只有皿，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“mxWQ,,=3”为假命题.(2)因为Q0,尸0,所以,+于>0,所以尹为正实数，使x2+7=0"为假命题.(2)当x=l时，t

7、a请=1,所以“mxWR,tanx=1"为真命题.(3)当x=时，lgl=0,所以“mxER,1贫=0”为真命题.题型三全称命题、存在性命题的应用例3⑴若命题0存在xeR,使ax2+2x+a<0,求实数Q的取值范围；(2)若不等式(加+1)X2—(777—1)x+3(772—1)<0对任意实数X恒成立，求实数1H的取值范围.解(1)由tzx2+2x4~6z<0,得tz(x24-1)<—2x,Vx2+l>0,2x^-p+I2当x>0时，x+—22,/•—2—1,Xx+丄X12当x<0时，x+—W—2,•:—W1,X兀+丄

8、X2・•・一十的最大值为1.x+一X又3x^R,使ax'+2x+a<0成立，・°•只要avl,・°・a的取值范围是(―°°,1).(2)①当加+1=0即加=—1时，2r_6<0不恒成立.②当加+1H0,则m<—1,Au1313».综上，加v—〒T・加v—亓或〃?>1,11tn<—1,/=（加一1）2—4伽+1）3（加