数学复习(矩阵)

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1、数学复习：一、矩阵定义当一个矩阵的行数曲与列数可相等时，该矩阵称为一个n阶方阵squarematrix。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主対角线maindiagonalo若一个亏阶方阵的主对角线上的元素都是1,而其余元素都是零，则称为单位矩阵identitymatrix,记为％或1“，即:0I—。如一个E阶方阵的主对角线上(下)方的元索都是零，则称...o、为下(上)三角矩阵，例如,…Q■•■■■■阶下三角矩阵，而J丿是一个V勺■丿则是一个曲阶上三角矩阵。二、矩阵运算1、矩阵的加法additionmatrix设冇两个mxn的矩阵A=(aij),B=(bij),则矩阵A和B的和记作A+B

2、。即:a\+"11Cl2+"12"22+"224“+饥%+纭■■■%+4“炬阵的加法满足下列运算律:(1)交换律：A^B=B+A.(2)结合律："3+<7)=a诃+U；(3)存在零元：^+0=0+A=A.⑷存在负疋^+(-4)=(-^)+A=0o2、数与矩阵相乘scalarmultiplication数九与矩阵A的乘积记作M或从，规定为加ii加12…加】“AA=AA,=加21■■■加22■■■…加2”••••••如加加2…兄％数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B为mxn矩阵，九、卩为数)：(i)(M)A二九(“)；(ii)(X+

3、i)A=kA+gA；(iii)X(A+B)=XA+XB；3^

4、矩阵与矩阵相乘matrixmultiplication1)只有当乘号左边的矩阵(称为左矩阵)的列数和乘号右边的矩阵(右矩阵)的行数相同时，两个矩阵才能相乘；这条可记为左列二右行方能相乘。2)乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数。这条可记为：积的行二左矩阵的行，积的列二右矩阵的列3)乘积矩阵的元素(i,j)等于左矩阵的第i行和右炬阵的第j列的对应元素的乘积之和。这条可记为i：积二(左矩阵行X右矩阵列)Z和。乘法满足下列运算律(1)结合律:(2)左分配律：班(3)右分配律："+砂=叔"恥；(4)数与矩阵乘法的结合律：(5)AIn=IltA=A若上为可阶方阵，则对任意正整

5、数｝,我们定义：并规定：a=r由于矩阵乘法满足结合律，我们仆m严，«疔=才o注意:(1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便"〃有意义，皿也耒必有意义；倘使皿皿都有意义，二者也未必相等，即AB未必一定等于BA(1)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即皿=°未必能推!li^=O或者B=0(2)如果M=并且未必有B=C。三、矩阵的转置transpose把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作屮。矩阵的转置运算满足下列运算律：(1)(#产"；(2)砒=才十声；(4)(耐二附四、矩阵的初等行变换matrixisreduced1、矩阵的初等行变换的方法：⑴变换矩阵的某两行位置；Ri^R

6、2⑵用一个非零数乘矩阵某行的所有元索；KR2⑶把矩阵某一行的K倍加到矩阵的另一行上去.KR2+R3注意：对矩阵A进行初等行变换，得到新矩阵，原矩阵与新矩阵Z间只能划箭头，不能划等号.2、阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵的定义如果一个矩阵每一个非零行的非零首元素出现在上一行非零首元素的右边，同时没冇一个非零行出现在零行之下，则称这种矩阵为阶梯形矩阵.如下列矩阵就是阶梯形矩阵。‘1232-1、()0131、00024丿如果行阶梯形矩阵的每一个非零行的非零首元素都是1,且非零首元索所在列的其余元素都为()，则称这种炉阵为简化阶梯形矩阵areducedmatrix.如下列矩阵就是简化阶梯矩"001、阵。0

7、102、001_4丿五、线性方程组的解a2,%!+a22X2Ha2nXn=E%內+%2兀2+…+%兀=饥以上线性方程组町写为矩阵形：AX=Ba2a2a22a~a2n••■x=x2■■■B=MB■■b2••■%h.n方程AX=B是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。其屮A称为方程组的系数矩阵，X称为未知矩阵，B称为常数项矩阵。将系数矩阵A和常数项矩阵B放在一起构成的矩阵称为线性方程纽的增广矩阵.表示为卞当3=0时，称方程组AX=0为齐次线性方程组.Homogeneouslinearquations当BH0时，称方程组AXH0为非齐次线性方程组.Un-Homogeneouslinea

8、rquations1、齐次线性方程组解的判定定理：齐次线性方程组AX=0一定有解,11（1）当R（系数矩阵）=R（增广矩阵）=n（未知数个数）时，方程组只有唯一解；uniquesolution.（2）当R（系数矩阵）=R（增广矩阵）＜n时，方程组有无穷多解.Infinitelymanysolutions2、非齐次线性方程组解的判定定理：非齐次线性方程组AX=8有解的充分必要条件是R（系数矩阵）=R（增广矩阵）