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1、高考专题复习矩阵1.知矩阵，，曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线C，则C的方程是 .[答案]1.（或） [解析]MN=所以在矩阵MN变换下，则，即，所以曲线在矩阵MN变换下得到曲线C的方程是．2.已知矩阵A的逆矩阵A-1=.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.[解析](Ⅰ)因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且
2、A-1
3、=2×2-1×1=3≠0,所以A==.(Ⅱ)矩阵A-1的特征多项式为f(λ)==λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3),令f(λ)=0,得矩阵A-1的特征值为λ1=
4、1或λ2=3,-5-所以ξ1=是矩阵A-1的属于特征值λ1=1的一个特征向量,ξ2=是矩阵A-1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.3.已知矩阵A=,B=,向量α=,x,y为实数,若Aα=Bα,求x+y的值.[解析]3.由已知,得Aα==,Bα==.因为Aα=Bα,所以=.故解得，所以x+y=.4.已知矩阵,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量.（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵；（Ⅱ）计算的值.[解析](Ⅰ)法一:依题意,..-5-所以.法二:，即的两个根为6和1，故,. ，所以，(Ⅱ)法一:=2－，A3=2×63－
5、13=.法二:=.5.已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成，求矩阵.[解析]设，有已知得，，又，，，. 6.设矩阵（其中），若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值.-5-[解析]设曲线上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点，则，即.（5分）又点在曲线上，所以，则为曲线的方程.又曲线的方程为，故，，因为，所以.7.已知直线l:ax+y=1在矩阵A=对应的变换作用下变为直线l':x+by=1.(Ⅰ)求实数a,b的值;(Ⅱ)若点P(x0,y0)在直线l上,且A=,求点P的坐标.[
6、答案](Ⅰ)设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M'(x',y').由==,得又点M'(x',y')在l'上,所以x'+by'=1,即x+(b+2)y=1,依题意得解得(Ⅱ)由A=,得解得y0=0.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=1.故点P的坐标为(1,0).-5-8.已知矩阵A=,B=,求矩阵A-1B.[答案]设矩阵A的逆矩阵为,则=,即=,故a=-1,b=0,c=0,d=,从而A的逆矩阵为A-1=,所以A-1B==.-5-
