(江苏版)高考数学一轮复习专题矩阵与变换(讲)理.doc

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1、专题11.6矩阵与变换【最新考纲解读】【考点深度剖析】1.江苏高考中，主要考查的是如何求逆矩阵，矩阵的变换和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查，当然不能忽视对特征值和特征向量的复习.2.加强训练，提高推理和运算能力.矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合，会将矩阵语言转化为数学符号，利用特征值和特征向量或其他矩阵工具解决实际问题.【课前检测训练】【练一练】1.已知矩阵A＝，B＝，向量α＝，x，y为实数.若Aα＝Bα，求x＋y的值.12/122.已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.解　设矩

2、阵A的逆矩阵为，则·＝，即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝.3.已知矩阵A＝，B＝，若矩阵AB－1对应的变换把直线l变为直线l′：x＋y－2＝0，求直线l的方程.解　因为B＝，所以B－1＝，所以AB－112/124.已知矩阵M＝满足：Mαi＝λiai，其中λi(i＝1，2)是互不相等的实常数，αi(i＝1，2)是非零的平面列向量，λ1＝1，α2＝，求矩阵M.解　由题意，λ1，λ2是方程f(λ)＝＝λ2－ab＝0的两根，因为λ1＝1，所以ab＝1.又

3、因为Mα2＝λ2α2，所以＝λ2，从而所以λ＝ab＝1.因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1.从而a＝b＝－1.故矩阵M＝.5.已知a，b∈R，矩阵A＝所对应的变换TA将直线x－y－1＝0变换为自身，求a，b的值.解　设直线x－y－1＝0上任意一点P(x，y)在变换TA作用下变成点P′(x′，y′)，12/12【题根精选精析】考点1:矩阵及其变换【1-1】已知矩阵A＝，B＝，若矩阵AB对应的变换把直线l：x＋y－2＝0变为直线l′，求直线l′的方程．【答案】4x＋y－8＝0.【解读】易得AB＝＝，在直

4、线l上任取一点P(x′，y′)，经矩阵AB变换为点Q(x，y)，则＝＝，∴即代入x′＋y′－2＝0中得x－y＋－2＝0，∴直线l′的方程为4x＋y－8＝0.12/12【1-2】求使等式＝M成立的矩阵M.【答案】【解读】设M＝，则＝M＝，则⇒即M＝.【1-3】已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.【答案】【1-4】在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形△A′B′C′的面积，其中M＝，N＝.【答案】4【

5、解读】解：因为△ABC在MN作用下变换为△A′B′C′，且MN＝＝，所以＝，＝，12/12＝.即A′(0,0)，B′(0,4)，C′(－2,4)．可得S△A′B′C′＝4.所以△ABC在矩阵MN作用下变换所得的图形的面积为4.【1-5】在直角坐标系中，已知椭圆x2＋4y2＝1，矩阵M＝，N＝，求椭圆x2＋4y2＝1，在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积．【答案】π.∴在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积为π.【基础知识】1．乘法规则(1)行矩阵[a11a12]与列矩阵的乘法法则：[a11a1

6、2]＝[a11b11＋a12b21]．(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：＝.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：＝.(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB)C＝A(BC)．(5)AkAl＝Ak＋l，(Ak)l＝Akl(其中k，l∈N*)．2．常见的平面变换(1)恒等变换：因为＝，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵12/12表示恒等变换．(2)反射变换：因为＝，该变换把点(x，y)变成(－x，y)，故矩阵表示关于y轴的反射变换；类似

7、地，，，分别表示关于x轴、直线y＝x和直线y＝－x的反射变换．(3)伸缩变换：因为＝，该变换把点(x，y)变成点(x，ky)，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k倍，故矩阵表示y轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵可以用来表示水平伸缩变换．(4)旋转变换：把点A(x，y)绕着坐标原点逆时针旋转α角的变换，对应的矩阵是.(5)切变变换：＝表示的是沿x轴的切变变换．沿y轴的切变变换对应的矩阵是.(6)投影变换：＝，该变换把所有横坐标为x的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵表示的是x轴上的投影

8、变换．类似地，表示的是y轴上的投影变换．【思想方法】.1.通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用2．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．3．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．2．曲