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1、挖掘“数列”探究价值，促进学生思维发展作者：邵汉民作者简介：邵汉民，浙江省杭州市萧山区所前二小（311200）・原文出处：《教学月刊：小学版》（杭州）2018年第20183期第28-31页内容提要：“数列”是引导学生研究数的变化特征，培养学生数感，促进学生思维发展的一种学习材料•等差数列、等比数列和裴波那契数列是比较常见的三种数列•教师以文化视角进行教学实践，可以让学生经历数列规律的探究过程，有层次地促进学生的思维发展.期刊名称：《小学数学教与学》复印期号：2018年06期关键词:数列/数学文化/探究价值/思维发展等差数列、等比数列和裴波那契数列是三种常见的数列,在生活中可以找到它们的现实原
2、型,如堆成三角形或梯形的圆木堆可以看作等差数列的原型,做拉面时师傅不断地对折拉面的过程中,拉面根数增加的情况就是一个等比数列,而大自然中大多数花朵的花瓣数，如果从少到多排列起来，居然会是一组裴波那契数列.同时,关于这三个数列,都有一些数学故事,等差数列有高斯求和的故事,等比数列有达依尔的麦粒故事，裴波那契数列有兔子繁殖的故事.如何利用好这些现实原型，并充分挖掘这些故事的数学内涵，让学生经历这些数列的抽象过程，促进学生的思维发展？对此，笔者进行了教学思考与实践._、等差数列一步感受数学化的过程利用等差数列求和这一数学知识培养学生良好的数感,是〃等差数列“学习价值的体现•但是，作为小学生,如果我
3、们单纯地让学生求等差数列的和,掌握它的计算公式:和二（首项+末项）X项数m2,似乎还没有真正挖掘出"等差数列"的教学价值•如何通过找寻〃等差数列"与现实模型、图式模型之间的联系，体验数学与现实之间的内容联系？如何通过〃等差数列求和"的简便算法的探究与图式变换之间的比较,形成数形结合的思维习惯？如何淡化数学形式化思维,让学生从数学的本质出发理解解题的思路？出于对以上问题的思考,我们基于二下年级学生的学习基础,开展把等差数列求和转化为三角形点子图的研究•具体安排以下三个教学环节.（-）经历从〃等差数列"的现实模型到图式模型再到数学表达的过程L引入主题：看照片回忆周日愉快的亲子活动（掰玉米、摘黄瓜
4、）.然后出示下面图片.2.引导观察：说一说它们是怎么摆放的?3.指导概括:能用最简洁的符号把这些形状描述下来吗?通过以上三个层次的引导，形成以下数学抽象的过程.（二）探索从数学计算到图式变换再到数形结合的历程L提出问题,自主探究：一共有多少个点子?2.交流汇报，理清思路.1+2+3+4+5+6=(1+6)+(2+5)+(3+4)=7x3=21（三）经历从变式练习到特征比较再到拓展练习的逬程弗赖登塔尔曾明确指出：〃毫无疑问学生也应该学习数学化,当然从最低的层次开始，也就是先从非数学内容进行数学化，以保证数学的应用性，同时还应该进到下一层次，即至少能对数学内容进行局部组织以上三个环节的教学设计，
5、体现了弗赖登塔尔的这一数学教学思想•由此,我们在对如〃数列"这样一些高度抽象的数学化材料的处理上，不能只囿于数学公式的推理，而应该从更普遍意义上来理解,即如何让学生经历数学思维的全过程.二、等比数列——进一步感受数学化的过程不熟悉〃几何级数"的变化特点，茫然地做出承诺，就会酿成大错，这样的事例，我们可以从一些数学科普读物中找到，如下面列举的〃达依尔的麦子〃就是一个很好的教学材料.相传古印度人达依尔发明了国际象棋而使当朝的国王十分开心,国王便决定重赏他.〃我不要您的重赏，陛下达依尔接着说，〃我只要您能在我的棋盘上赏些麦子：在第一格放一粒,第二格放2粒,第三格放4粒,以后每格放的麦粒都比它前面一
6、格多T咅,我只求能放满64格就行了"区区小数，几粒麦子，这有何难，……"国王未加思考立即允道.有句话叫做“君无戏言"•如果国王的赏赐真的要实现，那么就算国王倾全国的财富，也满足不了对达依尔的赏赐.对于这样一则数学故事,如果将其转化成教学过程,把目标停留于求解,那么就变得太难了,对于六年级的小学生来说不免显得力不从心,也没有必要.但如果除去这种纯粹难度外,这里包含着太多的数学化的过程.如果从这个角度来思考,等比数列的教学目标不只是为了求出问题的解，而是在求问题解的过程中，经历数学化的过程.(-)从数的表达到式的表达小学计算中一般以数为基本单位,因此由题意可以分析得出每格中所放的麦子数依次为1,
7、2,4,8,16,32……一直到第64格上放的麦子数这样一组等比数列.这样的表示方法可以让人明显地感受到数的大小变化，但是越往后数的位数越来越多，书写越来越不方便.能否用更简捷的方法来表示结果？从分析数的特征入手，从4开始，每个数都可以表示成若干个2相乘的形式.如下图.这个规律可以有两种表达，即用乘法的形式表示和用幕的形式表示.通过以上三种表示每格中麦子数的方法的比较,既可以发现它们之间的联系,更可以体会到数
