承前启后的大学数学20100728

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1、【新】承前启后的大学数学四川大学数学学院，马洪2010-07-20于拉萨西藏大学2010-07-28于成都四川大学•个人简介马洪，1969年毕业于四川大学数学系基础数学专业，现为四川大学数学学院教授、博士生导师，研究方向为随机信号处理。•读书心得有人说数学是艰深的.抽象的、枯燥的；但其实数学也是简单的.直观的、有趣的。•我对数学的理解•数学的框架是简单的、•数学的原理是直观的.•数学的思想是有趣的。•承前启后的大学数学1、中学数学：初等数学研究静止的.不变的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学2、大学数学：高等数学研究运动的.变化的各种

2、自然现象.社会现象.工程现象的数学从初等数学到高等数学的历史沿革(-)中学数学回顾：初等数学在屮学数学屮学习了几种初等函数，其屮最简单的就是线性函数：[1]—元线性函数：y二/(x)=ax+b从“一维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射”原像空间像空间/(■)R—R[2]多元线性函数:Y=/(X)=a內+°2兀2+…后+b从“n维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射”原像空间像空间/(■)RJR(二)大学数学回顾：高等数学(1)《线性代数九数字信号处理的基础线性代数在做什么？其实它就做了一件事情，就是将中学的线性函数的像空

3、间从一维扩展到多维，研究“多维实线性空间”到“多维实线性空间”的“线性映射”:Y=T[X],即从“n维实线性空间”到“in维实线性空间”的“线性映射”7-(.)RJR"函数(映射)的三耍素：定义域、值域、对应关系线性代数首先研究的就是线性映射的定义域和值域：它的定义域和值域都是“有穷维的向量空间”(也称有穷维线性空间)，所以线性代数首先讲的就是有穷维向量空间的定义及性质；然后再研究对应关系：从“n维线性空间”到维线性空间”的一个线性对应关系表现出來就是一个矩阵，因此线性代数主要研究矩阵，它研究了各种各样的矩阵及其性质。所以线性代数的研究内

4、容用一•句话来说就是：研究“有穷维线性空间”到“有穷维线性空间”的“线性映射”有穷维线性空间：映射的“原像空间”和“像空间”有穷维线性映射：矩阵（2）《泛函分析》：现代信号处理的理论基础！！!数学作为一种工具要应用到各个领域中去解决实际问题，而在实际应用中我们遇到得最多的是连续参数函数，比如语音信号、雷达信号、股山行情、气温变化……。以手机通话为例，手机作为一个系统：完成语音信号与无线电信号的和互转化。因此它可以被看作为映射（或曰算子）。如果我们把输入的一个语音信号看作一•个向量的话，这个向量的维数是多少？无穷维！工程小这样的东西多了,把

5、一个无穷维的向量（信号）和另一个无穷维的向量（信号）对应起来。比如手机具有发送（把语音信号转换为无线电信号）和接受（把无线电信号转换为语音信号）两种功能，这两种功能分别由两个电子信息子系统来实现，这两个子系统实际就是商个算子。我们知道，语咅信号、无线电信号都是能量有限信号，用数学的语言來描述，就是平方可积函数，而平方可积两数的全体就是厂空间，从而是Hilbert空间。所以一部手机实际上就是“Hilbert空间”到“Hilbert空间”的一个算子。如果电子信息系统是线性系统，就意味着我们的映射作为算子是线性算子，这就是为什么线性泛函分析构成

6、了现代信号处理的理论基础的原因。如果我们也用一句话來描述《线性泛函分析》这门课程的主要内容，那就是：手机、雷达、电视机、录音机这些系统实际上都可看作我们数学上的映射:研究“无穷维线性空间”到“无穷维线性空间”的“线性映射”无穷维线性空间：线性算子的“原像空间”和“像空间”无穷维线性映射：线性算子TI.]Rg—RS比较一F《线性代数》与《线性泛两分析》的一句话描述，我们惊奇地发现，它们是那样的相似，唯一的区别是“有”与“无”。但失之毫厘，谬以千里，一字之差，带來的是“有穷”与“无穷”的木质区别。因此，在学习泛函分析的时候，我们要注意比较《线

7、性代数》和《线性泛函分析》研究内容的开同：相同之处：它们共同关心的问题是映射的“线性性”不同之处：其“原像空间”、“像空间”分别为“有穷维”与“无穷维”典型的无穷维线性空间如，完备的线性距离空间完备的线性赋泛空间（Banach空间）完备的线性内积空间（Hilben空间）(3)《数学分析》(又称《微积分》)的基本框架.核心内容：数学分析的核心内容：用“极限”这一手段，研究实函数的“连续性”和“光滑性”［1］函数的“连续性3用C°(R)表示定义于R=(-co,+oo)±的连续函数的全体。［2］函数的“光滑性”:用L的表示定义于R=(-oo,+

8、oo)上的光滑函数的全体。我们用Cm(R)表示定义于R=(-00,+oo)上的m阶可微(m阶光滑)函数的全体显然，我们有C°(/?)oC'(/?)o…nC气/?)二…微分映射(微分算子)?(•