承前启后的大学数学2010.07.28

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1、【新】承前启后的大学数学四川大学数学学院，马洪2010-07-20于拉萨西藏大学2010-07-28于成都四川大学●个人简介马洪，1969年毕业于四川大学数学系基础数学专业，现为四川大学数学学院教授、博士生导师，研究方向为随机信号处理。●读书心得有人说数学是艰深的、抽象的、枯燥的；但其实数学也是简单的、直观的、有趣的。●我对数学的理解•数学的框架是简单的、•数学的原理是直观的、•数学的思想是有趣的。●承前启后的大学数学1、中学数学：初等数学研究静止的、不变的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学2、大学数学：高等数学研究运动的、变化的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学8从初等

2、数学到高等数学的历史沿革（一）中学数学回顾：初等数学在中学数学中学习了几种初等函数，其中最简单的就是线性函数：[1]一元线性函数：y=从“一维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射”原像空间像空间[2]多元线性函数：Y==从“n维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射”原像空间像空间（二）大学数学回顾：高等数学（1）《线性代数》：数字信号处理的基础线性代数在做什么？其实它就做了一件事情，就是将中学的线性函数的像空间从一维扩展到多维，研究“多维实线性空间”到“多维实线性空间”的“线性映射”：，即从“n维实线性空间”到“m维实线性空间”的“线性映射”函数（映射）的三要素：

3、定义域、值域、对应关系线性代数首先研究的就是线性映射的定义域和值域：它的定义域和值域都是“有穷维的向量空间”（也称有穷维线性空间），所以线性代数首先讲的就是有穷维向量空间的定义及性质；然后再研究对应关系：从“n维线性空间”到“m维线性空间”的一个线性对应关系表现出来就是一个矩阵，因此线性代数主要研究矩阵，它研究了各种各样的矩阵及其性质。所以线性代数的研究内容用一句话来说就是：研究“有穷维线性空间”到“有穷维线性空间”的“线性映射”有穷维线性空间：映射的“原像空间”和“像空间”有穷维线性映射：矩阵8（2）《泛函分析》：现代信号处理的理论基础！！！数学作为一种工具要应用到各个领域中去

4、解决实际问题，而在实际应用中我们遇到得最多的是连续参数函数，比如语音信号、雷达信号、股市行情、气温变化……。以手机通话为例，手机作为一个系统：完成语音信号与无线电信号的相互转化。因此它可以被看作为映射（或曰算子）。如果我们把输入的一个语音信号看作一个向量的话，这个向量的维数是多少？无穷维！工程中这样的东西多了，手机、雷达、电视机、录音机……，这些系统实际上都可看作我们数学上的映射：把一个无穷维的向量（信号）和另一个无穷维的向量（信号）对应起来。比如手机具有发送（把语音信号转换为无线电信号）和接受（把无线电信号转换为语音信号）两种功能，这两种功能分别由两个电子信息子系统来实现，这两

5、个子系统实际就是两个算子。我们知道，语音信号、无线电信号都是能量有限信号，用数学的语言来描述，就是平方可积函数，而平方可积函数的全体就是空间，从而是Hilbert空间。所以一部手机实际上就是“Hilbert空间”到“Hilbert空间”的一个算子。如果电子信息系统是线性系统，就意味着我们的映射作为算子是线性算子，这就是为什么线性泛函分析构成了现代信号处理的理论基础的原因。如果我们也用一句话来描述《线性泛函分析》这门课程的主要内容，那就是：研究“无穷维线性空间”到“无穷维线性空间”的“线性映射”无穷维线性空间：线性算子的“原像空间”和“像空间”无穷维线性映射：线性算子比较一下《线性

6、代数》与《线性泛函分析》的一句话描述，我们惊奇地发现，它们是那样的相似，唯一的区别是“有”与“无”。但失之毫厘，谬以千里，一字之差，带来的是“有穷”与“无穷”的本质区别。因此，在学习泛函分析的时候，我们要注意比较《线性代数》和《线性泛函分析》研究内容的异同：相同之处：它们共同关心的问题是映射的“线性性”不同之处：其“原像空间”、“像空间”分别为“有穷维”与“无穷维”典型的无穷维线性空间如，完备的线性距离空间完备的线性赋泛空间（Banach空间）完备的线性内积空间（Hilbert空间）8（3）《数学分析》（又称《微积分》）的基本框架、核心内容：数学分析的核心内容：用“极限”这一手段

7、，研究实函数的“连续性”和“光滑性”[1]函数的“连续性”：用表示定义于上的连续函数的全体。[2]函数的“光滑性”：用表示定义于上的光滑函数的全体。我们用表示定义于上的m阶可微(m阶光滑)函数的全体显然，我们有微分映射（微分算子）：，积分映射（积分算子）：，定理1函数黎曼积分存在的充分必要条件：函数几乎处处连续[注1]微分运算把“光滑”变“粗糙”，故可称“微分算子”为“粗糙子”；积分运算把“粗糙”变“光滑”，故可称“积分算子”为“光滑子”。[注2]《数学分析》中映射“连续性”概念