第十章排列、组合和二项式定理教案

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1、第十章排列组合和二项式定理教材分析—、内容分析:当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理.三、考点诠释(1)两个原理(分类计数原理、分步计数原理)分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步•分类要用加法原理将种数相加；分步要用乘法原理，分步后再将种数相乘.(2)两个概念(排列、组合)排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n个不同元素中任収m个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误.(3)两类基

2、本公式排列数公式A：=_1)5_2)…(斤_加+1)=———规定：0!二1(n-m)!组合数公式C：=亠=—-—A；；ml(n-m)!(4)两类基本性质排列性质：A；：：=A：+mA："组合性质：性质LC：=C；：~,性质2.C：+]=C；+CT在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排列数公式、组合数公式以及组合数的两个性质.解这类题的关键是准确、熟练地运用这些公式及性质，但是在使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同,要求选择公式的形式就不同.排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式和阶乘形式•前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，同时要注意公式的倒用，即

3、由——-—写出C；；lm!(n-m)!排列数&："与组合数c："里的m、n的关系是m

4、题的基本数学思想方法，要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义.处理排列组合的综合性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取的元素都取出來后，再进行排列.在排列问题中，某儿个元素必须在某儿个固定位置，某儿个元素不能在某儿个位置，某儿个元素必须在一起，某儿个元素互不相邻等，是排列中的儿种基本类型.在组合问题中，某些元素必须在内，某些元素都不在内，某些元素恰有一个在内，某些元素至少有一个在内，某些元素至多有一个在内等，是组合的几种基本类型.（6）二项式定理的有关概念第一、对通项要注意以下几点：①它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项

5、也随之确定.②公式表示的是第r+1项，而不是第r项.③公式中a、b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.第二、要注意区分，展开式的第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混在一起.（7）二项式系数的性质①展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.n②若二项式的幕指数是偶数，则展开式的中间一项即第上+1项的二项式系2/7—1数最大；若二项式系数的幕指数是奇数，则展开式的屮间两项即笫（J+1）2n+1项和第（口+1）项的二项式系数相等且最大.2③展开式的所有二项式系数的和等于2”.即C：+C：+C；+•••+

6、数项的二项式系数的和•即C：+C；+C：+…=c：+c：+c：+…h注意：①用二项式定理进行幕的近似计算时，首先要将幕的底数拆成两项，构造二项式：其次要根据题设的精确度选取展开的项数.②利用二项式定理证明整除性问题，也应灵活处理底数，使之符合需要.③赋值法是解决二项展开式屮有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可以通过正确的、简单的赋值得到解决.四、教学建议1.在深刻理解的基础上，严格要求按照两个原理去做分类计数原理和分步计数原理是两个基本原理，它们既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组

7、合学习过程的始终•搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任