必修五解三角形章节总结与题型

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1、章末整合提升知识梳理1.正弦定理：===2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=.3.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,S△==Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,si

2、n=cos……在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及==，可求出角C，再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理=，

3、求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通过=求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解无解无解a=bsinA一解a

4、形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．在ABC中，已知，，，求b及A；解析：（1）∵=COS==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴针对练习：1．（2010上海文数）18.若△的三个内角满足，则△（A）一定是锐角三

5、角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得，所以角C为钝角2．（2010湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题例2．.（2009北京理）在中，角的对边分别为，。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导

6、公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴.∴△ABC的面积.针对练习：3．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB＝3，bsinA＝4.(1)求边长a；(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.解：(1)将acosB＝3与bsinA＝4两式相除，得＝＝·＝·＝.又由acosB＝3知cosB>0，∴cosB＝，sinB＝，即a＝5.(2)由S＝acsinB，得c＝5.由cosB＝，解得b＝2.∴

7、l＝a＋b＋c＝10＋2.理解并掌握正弦定理与三角形面积计算公式的结合．要掌握面积与角或边的转换方法．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4．（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得，所以cosA==，所以A=300【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。5.(2010年天津)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝bc，

8、sinC＝2sinB，则A＝(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°专题二：正、余弦定理、三角函数与向量的综合