有理真分式部分分式分解的证明及系数公式_傅莺莺(1)

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1、第３０卷第２期大学数学Ｖｏｌ．３０，№．２２０１４年４月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＡｐｒ．２０１４有理真分式部分分式分解的证明及系数公式傅莺莺（北京工商大学理学院，北京１０００４８）［摘要］基于多项式知识给出了有理真分式部分分式分解定理的一个简洁的构造性证明．此外，还对分解系数的计算方法进行总结，给出了赋值法、极限法与导数法的全部计算公式．结果表明，利用极限法与导数法都能求出全部分解系数，且导数法的计算公式更简单、易算．［关键词］有理函数；部分分式；系数公式；导数［中图分类号］Ｏ１７２．２［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１４）０２－００８２－０６１引言

2、在高等数学中，经常遇到计算有理函数的高阶导数、幂级数展开、以及不定积分等问题．除了极其简单或特殊情况以外，这类问题都要用有理真分式的部分分式分解来解决．然而，数学教材中通常只介［１，２］绍分解定理的结果而不提证明，并且对于如何确定分解系数都只给出了单一的待定系数法，有待进一步讨论的问题很多．对于有理真分式的部分分式分解定理，文献［３］给出了一个基于数学分析技巧和方法的证明，文献［４］通过对分母多项式的次数归纳进行证明，过程都较繁琐．本文拟用多项式知识构造性地完成其证明，过程较简单．至于分解系数的确定，文献［５－８］等展开了研究，其中有的针对某些特殊有理函数，有的单从某一角度提出了某

3、种算法，有的提出用泰勒公式、留数等概念进行计算．所用的方法看似很多，但本质不外乎待定系数法、赋值法、极限法和求导法；得到的公式虽然很多，但形式不统一且结果不完整．有鉴于此，本文完整地给出了运用赋值法、极限法与导数法求分解系数的计算公式．２有理真分式部分分式分解的存在唯一性证明Ｐ（ｘ）引理１设为一有理真分式，其中Ｑ（ｘ）＝Ｑ１（ｘ）Ｑ２（ｘ）…Ｑｓ（ｘ）且Ｑ１，…，Ｑｓ互素，则存在唯Ｑ（ｘ）一一组多项式Ｐ１（ｘ），Ｐ２（ｘ），…，Ｐｓ（ｘ），使得Ｐ（ｘ）Ｐ１（ｘ）Ｐ２（ｘ）Ｐｓ（ｘ）＝＋＋…＋，Ｑ（ｘ）Ｑ１（ｘ）Ｑ２（ｘ）Ｑｓ（ｘ）Ｐ１Ｐｓ其中，…，为真分式．Ｑ１Ｑｓ证显然只需证明ｓ

4、＝２的情形，当ｓ＞２时递归应用ｓ＝２的结论即可．设Ｑ（ｘ）＝Ｑ１（ｘ）Ｑ２（ｘ）且Ｑ１，Ｑ２互素，则存在多项式Ｓ１（ｘ），Ｓ２（ｘ）使得１＝Ｓ１Ｑ１＋Ｓ２Ｑ２，从而ＰＰ（Ｓ１Ｑ１＋Ｓ２Ｑ２）ＰＳ２ＰＳ１＝＝＋．ＱＱＱ１Ｑ２［收稿日期］２０１３－０２－２７［基金项目］国家自然科学基金资助项目（１１１０１０１２，６１３０４１５５）第２期傅莺莺：有理真分式部分分式分解的证明及系数公式８３令ＰＳ２，ＰＳ１分别除以Ｑ１，Ｑ２得ＰＳ２＝Ｒ１Ｑ１＋Ｐ１，ＰＳ１＝Ｒ２Ｑ２＋Ｐ２，则ＰＰ１Ｐ２Ｐ１Ｐ２＝（Ｒ１＋Ｒ２）＋＋＝＋，ＱＱ１Ｑ２Ｑ１Ｑ２Ｐ１Ｐ２其中，为真分式．Ｑ１Ｑ２ＰＰ１Ｐ２上式最后一个等

5、号成立是因为与，均为真分式，所以Ｒ１＋Ｒ２＝０．ＱＱ１Ｑ２下证分解的唯一性．若另有Ｔ１（ｘ），Ｔ２（ｘ）满足ＰＴ１Ｔ２＝＋，ＱＱ１Ｑ２Ｔ１Ｔ２其中，为真分式，则Ｑ１Ｑ２Ｐ１－Ｔ１Ｔ２－Ｐ２＝，Ｑ１Ｑ２从而Ｑ２（Ｐ１－Ｔ１）＝Ｑ１（Ｔ２－Ｐ２）．又因为Ｑ１，Ｑ２互素，所以Ｑ１（Ｐ１－Ｔ１）．注意到Ｐ１－Ｔ１的次数低于Ｑ１，故Ｐ１＝Ｔ１．同理可证Ｐ２＝Ｔ２．Ｐ（ｘ）定理２设为一有理真分式，其中Ｑ（ｘ）在实系数内的标准分解为Ｑ（ｘ）Ｑ（ｘ）＝（ｘ－ａλ１…（λｓ（２μ１…（ｘ２μｔ，１）ｘ－ａｓ）ｘ＋ｐ１ｘ＋ｑ１）＋ｐｔｘ＋ｑｔ）Ｐ（ｘ）则可作部分分式分解：Ｑ（ｘ）ｓλｉｔμｉＰ（ｘ）＝

6、Ａｉｊ＋Ｂｉｊｘ＋Ｃｉｊ，（１）Ｑ（ｘ）∑∑（ｘ－ａ）ｊ∑∑（ｘ２＋ｐｊｉ＝１ｊ＝１ｉｉ＝１ｊ＝１ｉｘ＋ｑｉ）其中Ａｉｊ，Ｂｉｊ，Ｃｉｊ∈Ｒ，且该分解形式唯一．证根据引理１，存在唯一一组实系数多项式Ｐ１，…，Ｐｓ，＾Ｐ１，…，＾Ｐｔ，使得ｓｔ＾ＰＰ（ｘ）Ｐｉｉ＝∑λ＋∑２μｉ，Ｑ（ｘ）ｉ＝１（ｘ－ａｉ）ｉｉ＝１（ｘ＋ｐｉｘ＋ｑｉ）其中等式右侧分式均为真分式．根据多项式基本知识（事实上是多项式除法），每一Ｐｉ（ｉ＝１，…，ｓ）可唯一地写作λ－１λ－２Ｐｉ＝Ａｉ，１（ｘ－ａｉ）ｉ＋Ａｉ，２（ｘ－ａｉ）ｉ＋…＋Ａｉ，λ－１（ｘ－ａｉ）＋Ａｉ，λ；ｉｉ每一＾Ｐｉ（ｉ＝１，…，ｔ）可唯一地写

7、作＾Ｐ（Ｂ）（ｘ２＋ｐμｉ－１２μｉ－２），ｉ＝ｉ，１ｘ＋Ｃｉ，１ｉｘ＋ｑｉ）＋（Ｂｉ，２ｘ＋Ｃｉ，２）（ｘ＋ｐｉｘ＋ｑｉ）＋…＋（Ｂｉ，μｉｘ＋Ｃｉ，μｉ其中Ａｉｊ，Ｂｉｊ，Ｃｉｊ∈Ｒ．所以，λＰＡｉ，λｉｉＡｉ，１Ａｉ，２ｉＡｉｊλ＝＋２＋…＋λ＝∑ｊ，（ｘ－ａｉ）ｉｘ－ａｉ（ｘ－ａｉ）（ｘ－ａｉ）ｉｊ＝１（ｘ－ａｉ）μｉ＾ＰｉＢｉ，１ｘ＋Ｃｉ，１Ｂｉ，２ｘ＋Ｃｉ，２Ｂｉ，μｉｘ＋Ｃｉ，μｉＢｉｊｘ＋Ｃｉｊ（ｘ２＋ｐμｉ＝２＋（ｘ２２＋…＋（ｘ２μｉ＝∑（ｘ２ｊ．