真分式的部分分式分解

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1、5.8真分式的部分分式分解一个分式是两个多项式的商。设分子的次数为n，分母的次数为m。当n＜m时，该分式称为真分式；当n≥m时，该分式称为假分式。假分式可以写成多项式与真分式的和。这里主要讲解真分式的部分分式分解。例5.35分解成部分分式解：因为分母含有(x－1)的三重因式，所以设等式右边通分后得比较等式两边分子各项的系数得Ａ＋Ｂ＝1　　　　　　解得：　Ａ＝－1－3Ａ－2Ｂ＋Ｃ＝0　　　　　　Ｂ＝23Ａ＋Ｂ－Ｃ＋Ｄ＝0　　　　　Ｃ＝1－Ａ＝1Ｄ＝2则5.9简单的微分方程含有函数的导数的方程称为微分方程。如果导数是一元函数的导数，则称为常微分方程。微分方程的阶数：

2、微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数。微分方程的次数：微分方程中所含有的各项中未知函数及其各阶导数的次数之和的最大值。一次微分方程称为线性微分方程。由微分方程求原函数称为解微分方程。求出的原函数称为微分方程的解。含有任意常数的微分方程的解称为通解，不含有任意常数的微分方程的解称为特解。[一阶微分方程的解法]两边积分法形如y’＝f(x)的微分方程可用两边积分的方法直接求出微分方程的解。例5.44求经过点(3,10)，并且在每一点P(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方的曲线。解：设曲线方程为y＝f(x)，由题意得y’＝初始条件为y

3、x=3＝10两边积分得y

4、＝代入初始条件得10＝9＋C，C＝1故所求曲线为可分离变量的微分方程先把y’写成的形式，如微分方程可化为g(y)dy＝f(x)dx，则两边积分就可求得通解为G(y)＝F(x)＋C例如：解微分方程y'＝y2+xy2解：原方程即＝y2(1+x)可变形为两边积分得第六章定积分6.1定积分的概念与性质１．定积分的概念y=f(x)求曲边梯形的面积在直角坐标系中，设有曲线y＝f(x)x=ax=b我们不妨假定f(x)≥0，求y＝f(x)、x＝a、x＝b和X轴所围成的曲边梯形的面积。我们可以在[a,b]中任意插入n－1个分点把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]，其长度△

5、xi＝xi－xi-1，在每一个小区间内任取一点ξi，用长为f(ξi)宽为△xi的矩形面积代替小曲边梯形面积△Si，则曲边梯形面积为这些矩形面积的和当n→∞时的极限。例6.1求由曲线y＝x2，X轴(即直线y＝0)和直线x＝1所围成的图形的面积。⑴分割：在[0,1]之间插入n-1个分点，每一段记作△xi，则△xi＝，把梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积为△Si⑵替代：在△xi中任取一点ξi(例如左端点)，用矩形面积代替小曲边梯形面积△Si≈f(ξi)△xi=⑶作和式：Sn＝＝⑷求极限:当n→∞时，S=由此可见，求曲边梯形的面积问题可以通过分割、替代、作和式、求极限四

6、个步骤，最终归结为求和式Sn的极限问题。[定积分的概念]设函数f(x)在[a,b]上有定义，在[a,b]中任意插入n－1个分点,a＝x1＜x2＜…＜xn＜xn+1＝b，把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]，每一段的长度记作△xi，在每一个小区间内取一点ξi，作和式Sn＝，若当n→∞时和式Sn的极限存在，则称此极限值为f(x)在[a,b]上的定积分记作,则其中a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积式，x叫做积分变量。[说明]1.曲边梯形的面积是函数y＝f(x)在[a,b]上的定积分。其中X轴上方的

7、面积为正，X轴下方的面积为负。2.如果定积分存在，那么对[a,b]所作的分割是任意的，每一个小区间内ξi的取法也是任意的，当n→∞时，Sn的极限都相同。[定理6.1]如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的定积分存在。函数f(x)在[a,b]上的定积分存在又称为函数f(x)在[a,b]上可积。2.定积分的性质定积分有下列三条主要性质：⑴被积函数的常数因子可以提到积分号的前面，即，(k为常数)例如，⑵两个函数的和(或差)在区间[a,b]上的定积分等于这两个函数在区间[a,b]上的定积分的和(或差)，即例如，⑶如果将区间[a,b]分成区间[

8、a,c]和[c,b]，即a＜c＜b，那么例如，6.1牛顿－莱布尼兹公式运用定积分的定义求函数的定积分是一件很困难的事，而且和求不定积分一点都拉不上关系。有没有简单一点的方法呢？[定理6.2](牛顿－莱布尼兹公式)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，那么习惯上，我们常将F(b)－F(a)记作这样一来，定理6.2称为微积分基本定理。有了这一定理，定积分的计算问题就转化为求原函数的问题了。[求定积分的一般步骤]1.用不定积分求出被积函数的一个原函数F(x)2.用F(b)－F(a)求出定积分的值。例6.3求解：∵是f(x

9、)＝x2的一个原函数∴注