有理函数分解成部分分式的几种方法

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1、万方数据襄樊职业技术学院学报第9卷第3期双月刊2010年5月有理函数分解成部分分式的几种方法李艳萍(健雄职业技术学院基础教学部，江苏太仓215411)摘要：本文介绍了将有理函数分解成部分分式的实根代入法、复根代入法、极限法、求导法等几种简单方法，简捷有效地解决了有理函数的积分问题。关键词：有理函数；部分分式；待定系数中图分类号：0171文献标识码：A文章编号：1671—914X(2010)03—0022—03在有理函数积分l婴婴dx中，有理函数总能表oVix)示成多项式与真分式之和，所以只需考虑罢罂为有Vt

2、xJ理真分式的情况。有理真分式的积分，除极少数可用直接积分法或换元积分法求解外，大多都是采用把有理函数分解成部分分式的方法。对于把真分式分解成部分分式之和这一步骤，教材上常用的方法是“待定系数法”，这种方法比较普遍，但它是通过解方程组来确定系数，常常运算过程繁琐，计算量较大。这里介绍有理函数分解成部分分式时确定待定系数的几种简易方法。一。实根代入法当分母Q(x)含有一次因式的单重因式，即Q(x)=(x—a。)(x一曲⋯(x一曲时，可设j辽婪=一垒L一+—垒L+⋯+—L，Q(x)X--al。x—a2。。x-a

3、．’两边同乘以x—a。，(i=l，2，⋯，n)，得(x—al，器=等}+．一“t+．．．+等}，取x=al代入可得，Ai=(x-a1)器∽=l，2，⋯，rO即，部分分式中各待定系数Ai都等于把x=A；代入原有理函数中(分母中因式x-ai除外)。此方法可称为“实根代入法”。例1．分解塾!三兰=!X。--X成部分分式。解：设垒掣=面2x鬲2+丽3x-1=iAXX1+鲁1+鲁，X一一XI+HX—lXX十X一1用“实根代入法”可得，A．x。簪kx=0番斋1南lf·，x。一XItX+八x—l，I脚B=(x+1)·一2

4、x2+3X-lx3_xI=．t=弋2xZ丽+3x-1Xa=。-II一。=一1，X～x一1，Ix．rlC：(x一1)．T2x2+3x-1X。一X，iJi：1222x2+，3x-1X。一Xr号拦争卜2，萨1X～X—lJl牟1=LX者1+寺．x+x—l二、复根代入法当分母Q(x)含有二次因式的单重因式时，即Q(x)=(x2+Plx+q1)(x2+P2X+q2)⋯(x2+P鼻+qn)时，其中P2J．4qj≤0，(i=l∥2一，n)，可设—!：f堕：垒!兰±堕!+垒竖±旦2+⋯+垒叠±曼。．Q(x)X2+plx+ql

5、。x2+p2x+q2’。x2+p。耳+q。’两边同乘以x2+pIx+qI，(i=1，2，⋯，n)，得(x2+p咖)器一地端掣+(A2x+一B。2)(x2+．pjx+q0+⋯+(Aix+BJ+⋯+(Ai】【+BJ+⋯+X‘+D，x十a’(垒姿±里盘f兰：±巳墨±g△x2+p，一+q。设xI与x2是方程x2+P．x+q。---0的一对共轭虚根，取X------X．(或x=x：)代人可得，(x2+pi)【+qi)I=Ai】【l+Bi，(i=1，2，⋯，n)，Ix2哪收稿日期：2010-03--05作者简介；李艳萍

6、(1970--)，女，江苏太仓人。讲师，硕士，研究方向：高等数学教学。万方数据查墨鱼墼金鲤盛查坌盆叁鲍鱼壁查溘比较等式两边的实部与虚部，即可确定Aj与Bi的值，从而确定待定一次多项式A；x+B；，(i=l，2，⋯，n)，此方法可称为“复根代入法”。例2．化分式可靠为部分分式。解：设南=去+器，用“实根代人法”可得，A=丽1I一}一_丁4，方程1+xZ----O的一个虚根为x=i，用“复根代入法”可得，(1+x2)。而丽1丽b去I槲=击告号i=Bi+c所以B=}，c一丁2，即Bx+c一手x+}，故面南两=}[

7、去+宅争】．用复根代人法分解有理函数时，有时不一定需要把虚根求出再代入比较。例3．分解器成部分分式。【ll解：设器=F丽x+9=鲁+iB丽x+万C，由实根代入法得A=器I。产2，由复根代入法得Bx+c：兰±当lf枷。为了利用x2+x+3=o把兰}变成x的一次式，首先需要把分母化为单项式。为此，只需将分子分母同乘以适当的一次式，使分母的二次项和一次项分别与x2+x+3的二次项、一次项相同。显然，这样的一次式取x+2即可。x+9一(x+9)(x+2)一X2+llx+18订一石i订6两一—孓再=F—rx2+x+3

8、)+门【(k+l5)fx2+x+31—5所以阱c=等I珏譬学铲I抽x—lIX。+x+j卜·)=一(2x+3、因此器=音一丽2x+3．三、极限法例4·分解瓦‰成部分分式。解：设南=斋+鲁+鲁，用“实根代入法”，可先求得A=忱8一xl，[一l_4，c=8x，’ii矿‘”1一‘。怎样来确定B的值呢?将一个恒等式两边同时施以某种运算仍然相等，因此把上式两边同乘以X，并取一*时的极限，即，lim巾巩8x2丽=，lira。[