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《浅谈用真分式换元法解竞赛题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、浅谈用真分式换元法解竞赛题4数学的教与学都离不开解题,美国著名数学教育家G·波利亚曾说：“掌握数学就意味着解题”，怎样学会解题?这是我们每一个人都曾问过的一个问题。从浩瀚的题海中析出一些解题的规律来,并对这一解题方法或规律加以总结归纳,并形成自己的解题经验，应不失为一种有效的学习解数学问题的途径.对于等式，作变换：令=,称为真分式换元.巧用这种换元法解一类带有条件等式（a为常值）的竞赛题十分奏效.1用于求不定方程的自然数解例1设x、y是两个不同的正整数,并且=，则x+y=_________________.(1990年
2、全国部分省、市初中数学通讯赛试题)解设a、b为自然数.则2x=5+5×,2y=5+5×,不妨设a＞b,（显然a≠b）.所以=.（否则不可能同时为整数）于是x=3,y=15.故x+y=18.例2设a、b为正整数,那么满足+的一切正整数a、b的值是_____________.（1989年吉林省初中数学竞赛试题）解由已知条件可得设，x、y为正整数,显然,则a=6－6×,不妨设x＞y所以（否则）.于是，，，.小结：解数学竞赛题常以巧取胜，如何在竞赛培训中，使聪明的学生更聪明呢？笔者个人认为，就是在解题教学过程中让学生感受到数学
3、的奇异美，人人都有求新求异的心理，新奇或奇异的事物，往往能引起人们愉悦的情绪，学习兴趣的提高。上述两道例题都是借助真分式换元,从而逼出k和k（其中k、a、b均为整数）需同时为整数这一约束条件,4最终达到解题的目的,有时优美的解法往往能创造出异想不到的解题过程.这一做法与学生习惯的将=或化为用一个字母表示另一个字母的做法显然有着新奇和独特之处。2用于解方程或方程组例3.解方程组（1990年西安市初中数学竞赛试题）解因为,.于是=144,即有=0,得a=b.所以+-12=0,解得＝3或－4由＝3得＝0.6，由＝－4得＝4．
4、8，故方程组的解为.例4解方程=42.分析由于=13,符合真分式换元的特征，采用种换元法最终可以把较复杂的分式方程化为简单的方程来解．解设=,(=,因为=42,解得或7a=6b.当时,当时,=6,解得,=3.简评数学的和谐美，表现为数学系统、数学结构的相容性。除了数学基础的极个别局部以外，大多数数学内容是彼此相容的。上述两题都是为应用韦达定理的逆定理而设的，众所周知，韦达定理的逆定理是使形如的两个对称的方程统一为一元二次方程的纽带，而巧的是，真分式换元法同样具有这个功能。例4虽然使问题增元，但并不一定使问题复杂化,相反
5、地,倒使问题的结构向有利的方面发展.3用于证不等式例5设x、y,且x+y=1,求证:≥9.(第三届加拿大数学竞赛试题)证明设其中a、b,则原式==3+≥3+2+=9.4用于证明等式例已知,且+,求证：=4.分析由于题设条件有两个,因此假设时要能同时满足这两个条件.由于且所证式子有,于是可作如下假设:证明设，，=，,则,.于是==.得,=,,所以=,故=++.说明：本题的常规解法是设,得+=再解,而本解法是从求证结论出发,结合真分式换元,构思出分母为从而达到解题目的,这种重视结论信息挖掘解题途径的数学思想方法,是一种非常
6、规的思维方法.5求函数的最值例6求函数f(x)=的最小值.分析这是隐含条件+=1的最值问题,学生易犯把f(x)配方为:f(x)=,从而错误地解得f(x).而借助真分式换元,我们不但充分利用了隐含条件,且学到了将这种换元法进一步推广的一种解题方法(视f(x)为常数).解设,=,则=,,由+=1得=25.(等号当且仅当,即3a=2b,亦即时成立).例8已知a、b、c满足a+b+c=0,abc=8,则满足条件的最小自然数c是多少?分析根据所求,我们只要求出c的正的取值范围即可.解:设c＞0,由a+b+c=0,得又设(x＞0,
7、y＞0)则8=abc==.因为≥4xy＞0,4所以,得即,故满足条件的最小自然数c为4.说明：本题是关于、、结构对称的两个已知条件，如何在解题时利用这种对称性，往往能发现优美的解题解法和思路。通过对式子的变形,本题最终化为能应用真分式换元法来解，充分显示这种换元法在解数学题的简捷美。事实上，在解题时对于简捷美的追求，不仅能激发钻研数学的兴趣，而且往往可以独辟蹊径，发现优美而简捷的妙解.当然，真分式换元法在数学解题中的应用不只这几方面，但从以上所列举的独特的解题技巧便可窥视一斑，它不但体现了数学无以伦比的解题之美妙，又揭
8、示了数学解题方法的宝藏尚待我们去开发、去探索、去创造.4
