矩阵特点值与特点向量计算

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1、第3章矩阵特征值与特征向量的计算一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或部分特征值及相关的特征向量。3.1特征值的估计较粗估计r(A)£

2、

3、A

4、

5、欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来。3.1.1盖氏图定义3.1-1设A=[aij]n´n，称由不等式所确定的复区域为A的第i个盖氏图，记为Gi，i=1，2，…，n。定理3.1-1若l为A的特征值，则证明：设Ax=lx(x¹0)，若k使得因为ÞÞÞ例1估计方阵特征值的范围解：17/17G1={z：

6、z–1

7、£0.6}；G2={z：

8、z–3

9、£0.8}；G3={z：

10、z+1

11、£1.8}；G4

12、={z：

13、z+4

14、£0.6}。G1G2G3G4注：定理称A的n个特征值全落在n个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。3.1.2盖氏圆的连通部分称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。定理3.1-2若由A的k个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A的k个特征值。证明:令D=diag(a11，a12，…，ann)，M=A–D，记则显然有A(1)=A，A(0)=D，易知A(e)的特征多项式的系数是e的多项式，从而A(e)的特征值l1(e)，l2(e)，…，ln(e)为e的连续函数。A(e)的盖氏圆为：因为A(

15、0)=D的n个特征值a11，a12，…，ann，恰为A的盖氏圆圆心，当e由0增大到1时，li(e)画出一条以li(0)=aii为始点，li(1)=li为终点的连续曲线，且始终不会越过Gi；aiili不失一般性，设A开头的k个圆盘是连通的，其并集为S，它与后n–k个圆盘严格分离，显然，A(e)的前k个盖氏圆盘与后n–k个圆盘严格分离。当e=0时，A(0)=D的前k个特征值刚好落在前k个圆盘G1，…，Gk中，而另n–k个特征值则在区域S之外，e从0变到1时，与始终分离（严格）。连续曲线始终在S中，所以S中有且仅有A的k个特征值。注：1)每个孤立

16、圆中恰有一个特征值。2)例1中G2，G4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分，故它们各有一个特征值，而G1，G3构成的连通部分应含有两个特征值。3)因为例1中A为实方阵，所以若l为A的特征值，则也是A的特征值，所以G2，G417/17中各有一个实特征值。3.1.3盖氏圆与相似变换由于特征值是相似不变量，所以代数上常用相似变换将矩阵化简以得到特征向量，这里也可用相似变换将盖氏圆的半径变小，以得到更好的估计。原理：取对角阵作相似变换阵：P=diag(b1，b2，…，bn)其中bi>0，i=1，2，…，n则与A有相同特征值.而B的第i个盖氏圆为：，适当

17、选取b1，b2，…，bn就有可能使B的某些盖氏圆的半径比A的相应盖氏圆的半径小。1)欲缩小Gi，可取bi最大。2)欲缩小除Gi外的圆，可取bi最小。例2，估计的特征值范围。解：A的三个盖氏圆分别为：G1={z：

18、z–0.9

19、£0.13}；G2={z：

20、z–0.8

21、£0.14}；G3={z：

22、z–0.4

23、£0.03}l3ÎG3，较好。为了更好地估计另外两个特征值可取b3最小：取b1=b2=1，b3=0.1即，则所以G1'={z：

24、z–0.9

25、£0.022}；G2'={z：

26、z–0.8

27、£0.023}；G3'={z：

28、z–0.4

29、£0.3}17

30、/17三个盖氏圆分离，故有l1ÎG1'，l2ÎG2'，l3ÎG3。3.2幂法与反幂法幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量的一种迭代法。3.2.1幂法设An有n个线性相关的特征向量v1，v2，…，vn，对应的特征值l1，l2，…，ln，满足

31、l1

32、>

33、l2

34、³…³

35、ln

36、(3.2.1)1.基本思想因为{v1，v2，…，vn}为Cn的一组基，所以任给x(0)¹0，——线性表示所以有(3.2-2)若a1¹0，则因知，当k充分大时A(k)x(0)»l1ka1v1=cv1属l1的特征向量另一方面，记max(x)=xi，其中

37、xi

38、=

39、

40、x

41、

42、¥，则

43、当k充分大时，若a1=0，则因舍入误差的影响，会有某次迭代向量在v1方向上的分量不为0，迭代下去可求得l1及对应特征向量的近似值。2.规范化在实际计算中，若

44、l1

45、>1则

46、l1ka1

47、®¥，若

48、l1

49、<1则

50、l1ka1

51、®0都将停机。须采用“规范化”的方法，k=0，1，2，…(3.2-4)定理3.2-1任给初始向量有，(3.2-5)证明：17/17而注：若的特征值不满足条件(3.2.1)，幂法收敛性的分析较复杂，但若l1=l2=…=lr且

52、l1

53、>

54、lr+1

55、³…³

56、ln

57、则定理结论仍成立。此时不同初始向量的迭代向量序列一般趋向于l1的不同

58、特征向量。3.算法求maxa(x)的流程，设数组x(n)数向量x的n个分量数组x=[n]k=1for(i=2ton,i++)若

59、x[i]

60、>

61、x[k]

62、Tk=imax=x[k]幂