矩阵特点值和特点向量解法的研究

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1、矩阵特征值和特征向量解法的研究周雪娇(德州学院数学系,山东德州253023)摘要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结•在比鮫中能够更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率.关键词：矩阵；特征值；特征向量；解法引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动屮的固冇值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义35大•很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算

2、中三大问题之——特征值问题.1矩阵特征值与特征向量的概念及性质1.1矩阵特征值与特征向量的定义设A是斤阶方阵，如杲存在数久和"维非零向量x,使得Ax=Ax成立，贝

3、J称2为A的特征值，*为人的对应于特征值久的特征向量.1.2矩阵特征值与特征向量的性质矩阵特征值与特征向量的性质包括：(1)若人是4的,;•重特征值，则A对应特征值&•有®个线性无关的特征向量,其中5.

4、别是“兀2,…凡，则这组特征向量线性无关.（4）若矩阵A=（aiJxn的特征值分别为人仏，…,&，贝U人+入+…+人=°】】+°22+…+°加，人入…人=

5、人

6、・（5）实对称矩阵A的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交.（6）若&是实对称矩阵A的%.重特征值，则对应特征值&恰有z;•个线性无关的特征向量.（7）设2为矩阵A的特征值，丹兀）为多项式函数，则P（2）为矩阵多项式P（A）的特征值・M2普通矩阵特征值与特征向量的求法2.1传统方法确定矩阵A的特征值和特征向量的传统方法可以分为以卜•几步：（1）求出矩阵A特征多项式/（2）=

7、2E-A

8、的全部特征根；（

9、2）把所求得的特征根&（心1,2,…,司逐个代入线性方程组（A-E-A）X=0,对于每一个特征值，解方程组^E-A）X=0,求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量•⑵例1已知矩阵_011'4=11-1011求矩阵A的特征值和特征向量.解A-1-1AE-A=-12-11=A(A-l)20-1A-l所以，由2(2一l)2=0知A的特征根人=0,右=入=1._0-1-1由-AX=0,即-1-11x2_0-1-1x3当2=0时,0得£=2x3,x2=一无3因此，屈丁特征值2=0的特征向量为2-11当2=1时,■1-1-f-101x20-1

10、0x3由（E-A）X=0,即因此，屈丁•特征值2=1的特征向量为2.2列行互逆变换法2.2.1列行互逆变换法的定义把矩阵的卜•列三种变换称为列行互逆变换：（1）互换八/两列（q㈠cj,同时互换八i两彳亍S㈠町）;（2）第i列乘以非零数k（kc）,同时第“亍乘丄（丄「kk丿(3)第i列k倍数加到第j列(q+kc),同时第j行_k倍加到第i行@-心).2.2.2列行互逆变换法的应用例2已知矩阵~2-1103-1213求A的特征值和特征向量.「20-131_-1■11-131■-1213004G+C3I1002100010010001-101~200_~20012-1120

11、^2+<■!"+厂2、0041计1・2・、00471-101-11/201001-1/2-111-111/21-1101-1所以，特征值&=人=2,^3=4对应特征值人=人=2的特征向量为-16Zj=11对应特征值丸3=4的特征向量为■1=j12.3列初等变换法2.3.1列初等变换的步骤~AE-A~~cW⑴将•••经过一系列初等变化变成•••E_QW列初等变换法计算特征值与特征向量的步骤是:,其屮C（2）为含久的下三角矩阵，0伉）为E经过初等变换得到的矩阵;（2）令C（/l）主对角线元素之积为零，求出根即为特征值&（i=l,2,…,町；~cW~cM~（3）将求出的=1,

12、2,•••,/?）代入•••中为•••qWqM在进行列初等变换,当化为列阶梯形，且当非零列向量个数为时，Q（/l）中后的川-厂个列向量即为&对丿应的特征向量.2.3.2列初等变换的应用例3已知矩阵1-11求矩阵4的特征值和特征向量.解'2-1-12--1■11'AE-A—0-12-1TE_100010001__-101A-22-1-AT00011-1-10A-112-2A2—A2-1-11000010102_0■-1001110KA-lA2_2(2_1)21701-2+2-10-1A-l2+112+1—尤+Q+lgW由2（2一I）?=0知