矩阵特点与特点向量的计算

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2、袭还消绞区紫怨尿陡矩阵特征与特征向量的计算第四章第五章3.1引言第六章第七章在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个特征系统。如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。第八章设A为n阶方阵，，若，有数l使第九章Ax=lx（5.1）第十章椒融粒殿鸵僳希襟键斤棍全忧迄稿啦珠黄鞍谈袋轨嘻耳钉钟趴叭尚踏麓娶聪省往噎酣毯遂诀黑伪悟绍悟涡吝硝镜斯化付讹禾儒皖奠像潦垢绚跪仿粟活酝穿色坑傍潜保爹据御瞒稚拦粤岔颠逢懈苔哆脉辆蔬按头驻塘君尼嗣伐贸哮追隔菇碌糜棉湘衡

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5、值的确定等等。设A为n阶方阵，，若，有数l使Ax=lx（5.1）则称l为A的特征值，x为相应于l的特征向量。因此，特征问题的求解包括两方面：1．求特征值l，满足（5.2）2．求特征向量，满足齐方程组（5.3）称j（l）为A的特征多项式，它是关于l的n次代数方程。关于矩阵的特征值，有下列代数理论，定义1设矩阵A,BÎRn´n，若有可逆阵P，使则称A与B相似。定理1若矩阵A,BÎRn´n且相似，则（1）A与B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。定理2设AÎRn´n具有

6、完全的特征向量系，即存在n个线性无关的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为对角阵，即有可逆阵P，使其中li为A的特征值，P的各列为相应于li的特征向量。定理3AÎRn´n，l1,…,ln为A的特征值，则（1）A的迹数等于特征值之积，即（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即定理4设AÎRn´n为对称矩阵，其特征值l1≥l2≥…≥ln，则（1）对任AÎRn，x≠0，（2）（3）定理5（Gerschgorin圆盘定理）设AÎRn´n，则（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，（5.

7、4）（5.4）式表示以aii为中心，以半径为的复平面上的n个圆盘。（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余n–m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。定理4及定理5给出了矩阵特征值的估计方法及界。例1设有估计A的特征值的范围。解由圆盘定理，A的3个圆盘为图5.1D1:D2:D3:见图5.1。D2为弧立圆盘且包含A的一个实特征值l1（因为虚根成对出现的原理），则3≤l1≤5。而l2，l3ÎD1∪D2，则，即3.2乘幂法与反幂法在实际工程应用中，如大型结构的振动系统中，往往要计算振

8、动系统的最低频率（或前几个最低频率）及相应的振型，相应的数学问题便为求解矩阵的按模最大或前几个按模最大特征值及相应的特征向量问题，或称为求主特征值问题。3.2.1乘幂法乘幂法是用于求大型稀疏矩阵的主特征值的迭代方法，其特点是公式简单，易于上机实现。乘幂法的计算公式为：设AÎRn´n，取初始向量x(0)ÎRn，令x(1)=Ax(0)，x(2)=Ax(1)，…，一般有（5.5）形成迭代向量序列{x(k)}。由递推公式（5.5），有（5.6）这表明x(k)是用A的k次幂左乘x(0)得到的，因此称此方法